次の連立微分方程式の一般解がわかりません。

質問

次の連立微分方程式の一般解がわかりません。

dx/dt=x-2z
dy/dt=2x-y-2z
dz/dt=-2x+2y

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>連立微分方程式の一般解がわかりません。
解き方はわかるけど、それを解いたときの一般解だけがわからないということですか？

分かる所までの途中計算を補足に書いた上で、どこがわからないかを訊いて下さい。

解き方
dx/dt=x-2z　…(1)
dy/dt=2x-y-2z …(2)
dz/dt=-2x+2y …(3)

(2)-(1)より
d(y-x)/dt=x-y
d(y-x)/dt+(y-x)=0
y-x=c1e^(-t)
y=x+c1e^(-t)…(4)

(2)に代入
dx/dt-c1e^(-t)=x-c1e^(-t)-2z
dx/dt-x=-2z

tで微分
d^2x/dt^2-dx/dt=-2dz/dt
(3),(4)を代入
d^2x/dt^2-dx/dt=-4c1e^(-t)
x=c2+c3e^t-2c1e^(-t) …(5)

(4)に代入すれば
y=c2+c3e^t-c1e^(-t) …(6)

(5)を(1)に代入して
2z=x-dx/dt=c2+c3e^t-2c1e^(-t)-(c3e^t+2c1e^(-t))=c2-4c1e^(-t)
z=(1/2)c2-4c1e^(-t) …(7)

(5),(6),(7)が答え

お礼

詳しくありがとうございます。
理解できました。

回答No.1

Churuyasan

ヒント：(dx/dt)±(dy/dt)=d(x±y)/dt
あとは普通に解けます。

お礼

ヒントありがとうございます。