この質問教えてください！

質問

この質問教えてください！放物線m はy=1/2x2 で、直線n はy=x+12 である。これらのグラフの交点をA, B とする。

放物線m 上のA からO の間に点Q をとる。△AQB の面積が40 となるときのQ の座標を求めよ。

よろしくお願いします！

回答No.4

yyssaa

#2です。
回答No.2では点A(6,18)、点B(-4,8)だけで回答したので、ここ
では点A(-4,8)、点B(6,18)の場合を回答し、さらに回答No.2の
別の計算方法を回答します。回答No.2の答Q(2,6)は変わりません。
点A(-4,8)、点B(6,18)の場合は、AとOを結ぶ直線はy=-2xとなる
ので、Qのx座標を-sとするとy座標は2sとなり、Q(-s,2s)になり
ます。
Aを通りx軸に平行な直線と直線BQとの交点Rのx座標を求めます。
直線BQの傾斜は(18-2s)/(6+s)、直線BQとy軸との交点の座標を
tとすると、(t-2s)/s=(18-2s)/(6+s)からt=30s/(6+s)。よって
直線BQはy={(18-2s)/(6+s)}x+30s/(6+s)。
Aを通りx軸に平行な直線はy=8なので、
8={(18-2s)/(6+s)}x+30s/(6+s)、これをxについて解くと
x=(48-22s)/(18-2s)。よって点Rのx座標は(48-22s)/(18-2s)。
△AQBの面積=△ARBの面積+△ARQの面積
=(1/2)*{4+(48-22s)/(18-2s)}*(18-8)
+(1/2)*{4+(48-22s)/(18-2s)}*(8-2s)=60-15s、これが40だから
60-15s=40を解いてsを求めるとs=4/3。
よってQの座標はQ(-4/3,8/3)・・・答
（点A(6,18)、B点(-4,8)の場合の別解）
直線AQはy=3x、y=8との交点Rのx座標はx=8/3、
Qを(s,3s)とすると
△AQB の面積=△ABRの面積+△BQRの面積
=(1/2)*(4+8/3)*(18-8)+(1/2)*(4+8/3)*(8-3s)
=(10/3)*(18-3s)、これが40だから
(10/3)*(18-3s)=40をsについて解いてs=2
よってQ(2,6)・・・答

回答No.3

ereserve67

回答:No.1です．2,3か所タイプミスがあったので訂正します．答はOKです．さらに図を添付します．

(1/2)x^2=x+12

x^2-2x-24=(x+4)(x-6)=0

x=-4,6

A(-4,8),B(6,18)とします．Q(t,t^2/2)(-4<t<0)とおき，Qを通りy軸に平行な直線と直線ｎの交点をP(t,t+12)とします．

△AQB=△APQ+△BPQ

で右辺の2つの三角形の底辺をPQ=t+12-t^2/2にとると2つの三角形の高さはそれぞれt-(-4),6-tであるから，

△AQB=(1/2)PQ(t+4)+(1/2)PQ(6-t)=5PQ=5(t+12-t^2/2)

これが40だから

5(t+12-t^2/2)=40

t+12-t^2/2=8

2t+24-t^2=16

t^2-2t-8=(t+2)(t-4)=0

-4<t<0よりt=-2,Q(-2,2)（答）

※もしAとBが逆ならt=4とした場合のQ(4,8)が答です．

回答No.2

yyssaa

＞x-y座標系に図を描くと分かり易いです。
mとnの交点の座標を求めると、x+12=(1/2)x^2から
2(x+12)=x^2、2x+24=x^2、x^2-2x-24=0、(x+4)*(x-6)=0
からx=6、x=-4が得られ、これらをy=x+12に代入すると、
x=6のときy=6+12=18、x=-4のときy=-4+12=8となるので、
交点A, Bは、A(6,18)、B(-4,8)となります。よって
AとOを結ぶ直線はy=(18/6)x=3xになり、Qのx座標をsと
するとy座標は3sとなり、Q(s,3s)になります。
△AQB の面積は、点A(6,18)、点(6,3s)、点(-4,3s)及び
B点(-4,8)を4頂点とする四角形の面積S1から、A点(6,18)、
点(6,3s)及び点Q(s,3s)を頂点とする三角形の面積S2を引き、
さらにB点(-4,8)、点Q(s,3s)及び点(-4,3s)を頂点とする
三角形の面積S3を引いて得られます。
S1={(18-3s)+(8-3s)}*(6+4)/2=130-30s
S2=(1/2)*(6-s)*(18-3s)=(108-36s+3s^2)/2
S3=(1/2)*(4+s)*(8-3s)=(32-4s-3s^2)/2、よって
△AQB の面積=130-30s-(108-36s+3s^2)/2-(32-4s-3s^2)/2=40
sについて整理して20s=40、s=2
よってQの座標(s,3s)=(2,6)・・・答

回答No.1

ereserve67

(1/2)x^2=x+12

x^2-2x-24=(x+4)(x-6)=0

x=-4,6

A(-4,8),B(6,18)とします．Q(t,t^2/2)(-4<t<0)とおき，Qを通りy軸に平行な直線と直線ｎの交点をP(t,t+12)とします．

△AQB=△APQ+△BPQ

で右辺の2つの三角形の底辺をPQ=t+12-t^2/2にとると2つの三角形の高さはそれぞれt-(-4),6-tであるから，

△AQB=(1/2)PQ(t+4)+(1/2)PQ(6-t)=(5/2)PQ=(5/2)(t+12-t^2/2)

これが40だから

(5/2)(t+12-t^2/2)=40

(1/2)(t+12-t^2/2)=8
2t+24-t^2=16
t^2-2t-8=(t+2)(t-4)=0

-4<t<0よりt=-2,Q(-2,2)（答）

※もしAとBが逆ならt=4とした場合のQ(4,8)が答です．