確率，一様分布に関する問題です。

質問

確率，一様分布に関する問題です。

確率変数XとYが互いに独立にU[0, 1]に従うとき，
次の確率を求めよ。

(1): P(|X－Y| ≦ (1/2))
(2): P(|(Y/X)－1| ≦ (1/2))
(3): P(XY ＜ a)

絶対値などがついており，どう計算してよいのか分かりません。
お分かりになる方，ご教授をお願いいたします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

(1)

|X-Y|=|Y-X|≦1/2

⇔-1/2≦Y-X≦1/2

⇔X-1/2≦Y≦X+1/2

これと面積（全確率）1の正方形0≦X≦1,0≦Y≦1（これを□とします）の共通部分の面積（図を描いてください）は，

P(|X-Y|≦1)=1-(1/2)(1/2)^2-(1/2)(1/2)^2=3/4（答）

(2)

|Y/X-1|≦1/2

⇔-1/2≦Y/X-1≦1/2

⇔1/2=1-1/2≦Y/X≦1+1/2=3/2

X≠0かつ0≦X≦1より0<X≦1

X/2≦Y≦3X/2

これと□の共通部分の面積は（図を描いてください）

P(|Y/X-1|≦1/2)=1-(1/2)1(2/3)-(1/2)1(1/2)=5/12（答）

(3)

0≦X≦1,0≦Y≦1より0≦XY≦1

a≦0のときP(XY<a)=0

a≧1のときP(XY<a)=1

0<a<1のとき曲線XY=aは

・線分X=1,0≦Y≦1と(1,a)で交わる
・線分0≦X≦1,Y=1と(a,1)で交わる

よって

P(XY<a)=1-∫_a^1(1-a/X)dX

=1-∫_a^1dX+a∫_a^1dX/X

=1-(1-a)+alogX|_a^1

=a+a(log1-loga)

=a-aloga

まとめて

P(XY<a)=a-aloga(0<a<1),0(a≦0,1≦a)

お礼

図まで添付していただき，非常にわかりやすかったです。
最後の部分は，P(XY<a)=a-aloga(0<a<1),0(a≦0),1(1≦a) でしょうか…?

本当にありがとうございました！