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確率の問題が解けない!?
- 確率密度関数f(x)の規格化定数cと分布関数F(x)の求め方を教えてください。
- 確率変数X₁、X₂、X₃が互いに独立で、標準正規分布N(0,1)に従う場合、確率Pr{0 ≤ (X₁+X₂+X₃)/ 3 ≤ 0.5}を求めたいです。
- 確率変数X、Yが独立で、それぞれ自由度4のχ²分布、自由度6のχ²分布に従う場合、Pr( X ≥λY )=0.05となるλの値を求めたいです。
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応用統計で学位(工学)を取った者です. 企業で品質管理を推進する立場にあります. なかなか回答が無いので,私から. これだけの難易度の問題から推察しますと,応用統計学の学部3年くらいでしょうか. W大のN先生の試験でDを取ったときのレポートだったりして・・・ 企業の方ではありませんよね.品質管理検定には,こんな難しい問題出ませんものね. まずは,ヒントを述べます. また,数値表を見ても良いという前提で書きます. やってみて分からなければ,分からない点を指摘して下さい. [1]確率密度関数の式中の未知数を求めよ,また確率分布関数を求めよ. ヒント(1):確率密度関数は-∞から+∞まで積分すると1になります. この式であれば,ー1から+1まで積分して1と置けばcが解けます. ヒント(2):確率分布関数を微分したものが,確率密度関数になります. ですから,この問題はその逆です. [2]3次元正規分布空間において,一定の領域に入る確率を求めよ. ヒント:X1,X2,X3は独立ですので,P(X1,X2,X3)=P(X1)・P(X2)・P(X3)です. 領域を切る平面関数はベクトル(1,1,1)を法線としていますが,これを簡単にしましょう. X1,X2,X3はいずれもN(0,1^2)ですので,これを回転させてベクトル(1,0,0)に向けます. するとP(X1)の積分区間が変わります.(垂線の長さになるが,公式は高校で学んでいる) P(X2)とP(X3)の積分区間は-∞から+∞までになりますので,いずれも1です. これで,重積分をやらなくても済むようになりました.あとは数表で結果を出しましょう. [3]2次元カイ2乗分布を,原点を通る直線関数で切ったとき,切られた領域の確率を求めよ. ヒント:これをまともに積分したら,とんでもなく高等な数学になります. でも()内に注目して下さい. X/Y ≧λ ですよね. X/Y すなわちカイ2乗分布の比になっています. これはF分布です. あとは数表で結果を出しましょう. まじめに勉強していれば,いずれもそんなに難しい問題ではありません.
お礼
ヒントありがとうございます。もう一度基礎からやり直そうと思います。