確率変数の和の確率密度関数の問題

質問

X,Y,Zは互いに独立に一様分布Ｕ（0,1)に従う確率変数としたとき、S=X+Y+Zの確率密度関数　はどのように求めればよいのでしょうか？
X+Y と同じように考えればいいのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.5

reiman

ラプラス変換による計算法方を用いれば
p*p*...*p (pがn個の畳み込み)を素早く求めることができる。

(p*p*...*p)(x)のラプラス変換は
(P(s))^n=((1-exp(-s))/s)^n=Σ[k:0→n]C(n,k)(-1)^kexp(-ks)/s^n
上記をラプラス逆変換して
(p*p*...*p)(x)=Σ[k:0→n]C(n,k)(-1)^k(x-k)^(n-1)h(x-k)/(n-1)!

ただしC(n,k)=n!/k!/(n-k)!

回答No.4

reiman

地道に場合分けの積分が嫌な場合の計算方法:

p(x)=h(x)-h(x-1)
の両側ラプラス変換をP(s)と書くと
P(s)=1/s-exp(-s)/s=(1-exp(-s))/s

(p*p)(x)の両側ラプラス変換は
(P(s))^2=(1-2exp(-s)+exp(-2s))/s^2
これを逆ラプラス変換して(p*p)(x)は
xh(x)-2(x-1)h(x-1)+(x-2)h(x-2)

(p*p*p)(x)の両側ラプラス変換は
(P(s))^3=(1-3exp(-s)+3exp(-2s)-exp(-3s))/s^3
これを逆ラプラス変換して(p*p*p)(x)は
(x^2h(x)-3(x-1)^2h(x-1)+3(x-2)^2h(x-2)-(x-3)^2h(x-3))/2

ただし、ラプラス変換に通じてない場合には地道に場合分け積分するしかない。

回答No.3

reiman

∫が抜けていたりdxが余計についていたりしていたので修正

h(x)=0(x<0),1(0<x)とする。
X,Yが互いに独立で密度をそれぞれp,qとすると
S=X+Yの分布をFとし密度をfとすると
F(s)=∫∫h(s-x-y)p(x)q(y)dxdy
よって
f(s)=F'(s)
=∫∫h'(s-x-y)p(x)q(y)dxdy=∫∫δ(s-x-y)p(x)q(y)dxdy=∫p(x)q(s-x)dx
=(p*q)(s)
ただしp*qはpとqの畳み込み積分
以上から
X+Yの密度がp*qであることが分かった
ここでZがX,Yと互いに独立で密度がrとすると
X+Y+Zの密度は
(X+Y)の密度とZの密度の畳み込みだから
(p*q)*r
p=q=rの場合は
X+Y+Zの密度はp*p*pである。
さらにp=h(x)-h(x-1)とすると
X+Yは三角山
X+Y+Zは頂上が丸っぽい富士山

回答No.2

reiman

h(x)=0(x<0),1(0<x)とする。
X,Yが互いに独立で密度をそれぞれp,qとすると
S=X+Yの分布をFとし密度をfとすると
F(s)=∫h(s-x-y)p(x)q(y)dxdy
よって
f(s)=F'(s)
=∫h'(s-x-y)p(x)q(y)dxdy=∫δ(s-x-y)p(x)q(y)dxdy=∫p(x)q(s-x)dxdy
=(p*q)(s)
ただしp*qはpとqの畳み込み積分
以上から
X+Yの密度がp*qであることが分かった
ここでZがX,Yと互いに独立で密度がrとすると
X+Y+Zの密度は
(X+Y)の密度とZの密度の畳み込みだから
(p*q)*r
p=q=rの場合は
X+Y+Zの密度はp*p*pである。
さらにp=h(x)-h(x-1)とすると
X+Yは三角山
X+Y+Zは頂上が丸っぽい富士山

回答No.1

reiman

X+Yはどうやって密度を求めたのかその過程を補則に書いてください。

補足

X+Yの場合は、
ｆX+Y (t)=∫fx (t-y) fy (y) dy を使って区間ごとに場合わけしました。三変数のときは
f X+Y+Z (t)=∫fz (t-(x+y)) f X+Y (x+y) d x+y のようにするのかなと思ったのですが・・・。
よろしくお願いします。