確率の問題です

質問

確率変数Ｘ，Ｙはそれぞれ平均１の指数分布に従い、互いに独立であるとする。

(1)次の確率を求めよ。
(i) P(X≦1かつY≦1)
(ii) P(X＜1またはＹ＜１)
（iii）P(Y≦３Ｘ)

(2)確率変数Ｕ、Ｗを　Ｕ＝Ｘ、　Ｗ＝Ｙ／Ｘとおくとき、Ｗの確率密度関数を求めよ。

※平均1/aの指数分布の確率密度関数は、f(x)=a(e^-ax) (x>0) 、0 (x<0)

回答No.1

reiman

(ii)
P(X＜1またはY＜１)=1-P(1≦Xかつ1≦Y)

(iii)
∫∫[y≦3・x]dxdy・f(x)・f(y)

(2)
h:ヘビサイド関数,δ:デルタ関数
d[∫∫[y/x<w]dxdy・f(x)・f(y)]/dw
=d[∫[-∞<x<∞]dx・∫[-∞<y<∞]dy・f(x)・f(y)・h(w-y/x)]/dw
=∫[-∞<x<∞]dx・∫[-∞<y<∞]dy・f(x)・f(y)・h'(w-y/x)
=∫[-∞<x<∞]dx・∫[-∞<y<∞]dy・f(x)・f(y)・δ(w-y/x)
=∫[0<x<∞]dx・∫[0<y<∞]dy・f(x)・f(y)・δ(w-y/x)
=∫[0<x<∞]dx・∫[0<y<∞]dy・x・f(x)・f(y)・δ(x・w-y)
=∫[0<x<∞]dx・x・f(x)・f(x・w)