互いに独立な確率変数X、Yが標準正規分布に従うことから
f(x)=(1/√(2π))・exp(-x^2/2)および
g(y)=(1/√(2π))・exp(-y^2/2)
X,Yの同時確率密度関数h(x,y)=f(x)g(y)で与えられる。
U=X/Y , V=Yとして確率変数X,Yを確率変数U,Vに変換する。
X=UY=UV , Y=V
よって確率変数U,Vの同時確率密度関数h0(u,v)は
h0(u,v)=h(x,y)|∂(x,y)/∂(u,v)|=f(uv)g(v)|v|
∴h0(u,v)=(1/√(2π))^2・|v|exp(-(uv)^2/2)・exp(-v^2/2)
=(1/√(2π))^2・|v|exp(-{(uv)^2+(v)^2}/2)
=(1/√(2π))^2・|v|exp{-(1+u^2)v^2/2}
確率変数Uの周辺確率密度関数p(u)を求めると
p(u)=∫(-∞,∞)h0(u,v)dv
=(1/√(2π))^2∫(-∞,∞)|v|・exp{-(1+u^2)v^2}dv
=(1/√(2π))^2｛∫(-∞,0)(-v)・exp{-(1+u^2)v^2}dv+∫(0,∞)v・exp{-(1+u^2)v^2}dv｝
=(1/2π)・2/(1+u^2)
=1/π(1+u^2)
従って、確率変数X/Yの確率密度関数はコーシー分布に従う。
