座標系とは？

質問

座標系と聞いたら、なんとなくはイメージできます。おそらく皆さんもそうでしょう。しかし具体的に考えてみるといまいちピンとくる説明ができません。そもそも「系」って何を表しているのでしょうか？納得のいく説明をだれか教えてください。
以下、よくある説明についての私なりの突っ込みです。

◆一般にある集合に対して、その各元に数量的なものを対応させて表す仕組みをこの集合における座標系といい、各元に対応する数量をその元の座標という。
▼対応させる仕組み、ということは、写像の一種みたいなもんなのかな？でもそもそも仕組みってどういう意味？仕組みとは「物事の組み立て」とあるから何かを組み立てたものということになる。でもその組み立てるための要素は？材料は？説明がいまいち抽象的な気が。というか
”仕組み”という言いまわりより、”決まりごと”とか”約束事”とかのほうがいい気が。

◆原点や座標軸などを定めれば座標が作れるシステムのことを座標系(system of coordinates)と呼ぶ。
▼”など”って何さ？システムって何さ？システムって言葉は結構抽象的でいろいろな文脈で使うけれども、今回のことに関してはどんな意味で使っているのか？

とくに「系（system)」が何なのか気になります。
回答お願いいたします。できれば文献など記していただけると嬉しいです。

回答No.1

itshowsun · ベストアンサー

構成的数学の立場から、
古典数学（いわゆる数学）の基盤は、古典論理です。
古典論理は、いくつかの公理の集まりといくつかの推論規則の集まりからなっています。
この２つの集まりによって論理体系が生まれます。
すなわち、これが数学の基盤をなすシステムです。
なぜシステムというかというと、
どの公理、どの推論規則を選択するかによっていろいろな論理体系が作れます。
すなわち、そこから導き出す定理や理論が代わります。
しかし、一度公理や推論規則の集まりを固定すると勝手に変えることができません。
よって、この体系という言葉は、こういう決まりで論理を組み立てますという
意味に解釈してもいいと思います。
そして古典数学は、さまざまな論理体系のなかから古典論理をその基盤として採用しています。
実際には古典命題論理を拡張した古典一階述語論理です。
古典数学はまず集合を定義します。
これが公理的集合論です。
ここでも集合論を定義するためにいくつかの公理の組合せがあり、
それぞれの公理の組合せを選んだ数学者の名前で呼ばれます。
現在で最も採用されているのはおそらくZFC集合論です。
この集合の公理の集まりは、どの公理を採用するかの決め事ですので、
誰々の公理系とよばれます。
これが数学における二番目のシステムです。
やはり、決め事です。しかし、一度決めたら勝手に変えられません。
そして、選択した公理的集合論で数学が構成されていきます。

座標系を考えるに当たっては、まず集合から入ります。
この場合は点の集合を考えます。
三点の集合なら P = {A, B, C}などと表現できます。
しかし、これでは、たとえば紙の上の三角形を表現できません。
そこで、集合論の公理では、2つの集合X と Yを使って集合を作れることが定義されています。
この直積と上の点の集合を対応させると
P→X×Y
と表わせます。この直積は
X×Y = {<x, y>: x ∈ X, y ∈ Y }
と定義されています。ここで <x, y> は順序組です。
そこで、この第1要素をX座標、第2要素をY座標と呼び、
集合X とY を座標軸として、点を表現できることになります。
この場合、２つの実数の集合 X と Y　の直積として点の集合Pを表わす
と決めたわけです。
よってこの決め事を座標系、すなわち、システムと呼ぶわけです。

朝になり、昼になり、そして夜になった。
これがシステムです。つまり、決まりごとです。

ここで数学を古典数学と呼んだのは、
構成数学では論理は数学の基盤ではなく数学の一部であるため、
上の話の筋が成立しないためです。

お礼

なんだかわかったような気がします。
ありがとうございました。