数II三角関数の問題

質問

次の問題の解説をお願いしますm(_ _)m

回答No.3

ferien

△ABCで、正弦定理より、
AB/sin∠ACD＝2Rで、∠ACD＝π/6，外接円の半径R＝1より、　
AB＝2・1・sin(π/6)＝2・(1/2)＝1　…答え

＞（１）
∠CAB＝θ1より、正弦定理より、
BC/sinθ1＝2・1だから、BC＝2sinθ1

∠ABC＝π－(θ1＋π/6）だから、
sin∠ABC＝sin{π－(θ1＋π/6)}＝sin(θ1＋π/6)
加法定理より、
＝sinθ1cos(π/6)＋sin(π/6)cosθ1
＝(√3/2)sinθ1＋(1/2)cosθ1

正弦定理より、
AC/sin∠ABC＝2Rより、AC/sin(θ1＋π/6)＝2・1
AC＝2{(√3/2)sinθ1＋(1/2)cosθ1}
＝√3sinθ1＋cosθ1　……(1)

(1)について、合成の公式より、
AC＝2sin(θ1＋π/6)

△ABCの面積をSとおくと、
S＝(1/2)・AB・AC・sin∠CAB
＝(1/2)・1・2sin(θ1＋π/6)・sinθ1
＝sin(θ1＋π/6)・sinθ1
積和公式より、
＝(-1/2){cos(2θ1＋π/6)－cos(π/6)}
＝(-1/2)cos(2θ1＋π/6)＋(1/4)　……(2)

0＜θ1＜π－(π/6)＝5π/6　……(3)より、
0＜2θ1＜5π/3　……(4)
π/6＜2θ1＋(π/6)＜11π/6　……(5)　だから、単位円より、
-1≦cos(2θ1＋π/6)＜√3/2　だから、
(-√3/4)＋(1/4)＜S≦3/4
よって、面積の最大値はS＝3/4

(2)より、(-1/2)cos(2θ1＋π/6)＋(1/4)＝3/4とおくと、
cos(2θ1＋π/6)＝-1
(5)より、2θ1＋π/6＝πから、
θ1＝(5/12)π　……答え　これは(3)を満たす。

cos(2θ1)＝cos(5π/6)＝-√3/2
2倍角の公式より、
1－2sin^2(θ1)＝-√3/2
2sin^2(θ1)＝1＋(√3/2)＝(2＋√3)/2
sin^2(θ1)＝(2＋√3)/4
＝(1/4){(4＋2√3)/2}
＝(1/4){(√3＋1)^2/2}
よって、(3)より、sinθ1＞0だから、
sin(θ1)＝(1/2){(√3＋1)/√2}
＝(√6＋√2)/4　…答え

△ABCで、
∠A＝∠CAB＝θ1＝(5/12)πより、
∠B＝∠ABC＝π－{(5π/12)＋(π/6)}＝5π/12
だから、△ABCは二等辺三角形
よって、
AC＝BC＝2sinθ1
＝2・{(√6＋√2)/4}
＝(√6＋√2)/2　…答え

＞（２）
∠CAB＝θとおくと、
前問（１）で∠CAB＝θ1だったから、同じ考えで、
(1)より、AC＝√3sinθ＋cosθ　…答え

CAを2：1に外分する点がDだから、AはCDの中点になるから、
AD＝AC＝√3sinθ＋cosθ，
∠BAD＝π－∠CAB＝π－θより、加法定理から、
cos∠BAD＝cos(π－θ)＝cosπcosθ＋sinπsinθ＝－cosθ
△ABDで、余弦定理より、
BD^2＝AB^2＋AD^2－2AB・AD・cos∠BAD
＝1^2＋(√3sinθ＋cosθ)^2－2・1・(√3sinθ＋cosθ)・(－cosθ)
＝1＋3(sin^2θ＋cos^2θ)＋4√3sinθcosθ
２倍角の公式より、
＝2√3sin2θ＋4　…答え

BD＝1とおくと、上の式より、
1^2＝2√3sin2θ＋4
sin2θ＝-√3/2
前問の(4)より、0＜2θ＜5π/3だから、
2θ＝4π/3より、
よって、θ＝(2/3)π　…答え（0＜θ＜5π/6を満たす。）

解説をつけるとかなり長くなりました。
公式がたくさん使われているので、計算も確認してみてください。

回答No.2

muturajcp

Oを中心とする半径1の円の円周上に3点A,B,Cを
∠ACB=π/6
となるようにとると,線分ABの長さは
|AB|=1
である。このとき,
(1)△ABCの面積が最大になるように点Cの位置を
定めたときの∠CABの大きさをθ1とおくと
θ1=5π/12
であり
sinθ1=(√6+√2)/4
だから
|AC|=(√6+√2)/2
である
(2)∠CABの大きさをθとおくと
|AC|=(√3)sinθ+cosθ
である。
したがって,線分CAを2:1に外分する点をDとおくと
|BD|^2=2(√3)sin(2θ)+4
であり,BD=1となるのは
θ=2π/3
のときである。

回答No.1

info22_

画像が暗く、しかも文字が小さく、細かい文字が判読困難なので、手打ち入力して再投稿していただいた方が、回答がつくと思います。