三角関数の問題

質問

次の問題なのですがどのように解いたらよいうのでしょうか。

f(x)=2sinx+sin2xとする。0≦x≦2πにおけるf(x)の最大値最小値を求めよ。

ご解説よろしくお願いいたします。

回答No.2

lord2blue · ベストアンサー

まず、与式を微分します。

f'(x)＝2cosx+2cos2x

変形して、
＝2cosx+2{2(cosx)^2-1}
＝4(cosx)^2+2cosx-2
＝2｛2(cosx)^2+cosx-1}
＝2（2cosx-1)(cosx+1)

よって、

cosx＝1/2、-1

のとき、極致を取る。

0≦x≦2π

なので、極致を取るのは

x＝π/3、π、5π/3

の時。

また、

f(x)＝2sinx+2sinxcosx
＝2sinx(1+cosx)

と変形できるので、これに上記の3つの値を代入すると

f(π/3)＝(3√3)/2
f(π)＝0
f(5π/3)＝-(3√3)/2

以上より、

maxf(x)＝(3√3)/2　　minf(x)＝-(3√3)/2

パソコンでうっているのでわかりやすいように必要ないかっこを使っています。

また、極致を求める前に増減表を書くのが一般的で正しいやり方ですが、学生時代からこの手の問題で増減表を書かねば最大値最小値を求められなかったことは無いので必要ないかと思います。
途中式を書く必要があり、厳しい採点ならば書く必要があるかもしれません。

お礼

わかりやすい解説ありがとうございました！

回答No.4

mister_moonlight

座標に持ち込んでも、ちょっと大変だし、それも微分が必要になるようだ。
どうせ微分を使うなら、(三角をそのまま微分すれば、数IIIになるが)　数IIでもできる方法でやろう。

f(x)=2sinx+sin2x＝2sinx(1+cosx)　と変形する。
cosx＝tとすると、-1≦t≦1　‥‥(1)　この時、条件式は　g(t)＝±2(1+t)√(1-t＾2)‥‥(2)。
1+t≧0より、g(t)＝±2(1+t)√(1-t＾2)＝±2{√(1-t＾2)*(1+t)＾2}　‥‥(3)
(3)の根号内＝h(t)＝(1-t＾2)*(1+t)＾2　として、tについて微分すると、h´(t)＝-2(1＋t)＾2*(2t-1)　
(1)の範囲で増減表を書くと、h(1)＝h(-1)＝0、h(1/2)＝(3√3/4)＾2　になるから、-3√3/2≦f(x)≦3√3/2　この時　cosx＝1/2　から　xの値は求められる。

お礼

ご回答いただきありがとうございました！

回答No.3

alice_44

「連続な周期関数なので、最大値・最小値は極大値・極小値でとる」
と断れば、増減表なしでも良いかもしれません。

お礼

ご回答いただきありがとうございました！

回答No.1

gohtraw

sin2xというのが（ｓｉｎｘ）＾２であるなら、ｓｉｎｘ＝ｔとおいて、－１＜＝ｔ＜＝１におけるｔ＾２＋２ｔの最大、最小値を求めればいいと思います。単に二次関数の最大、最小値です。

sin2xがsin(2x)であるなら、倍角の公式で
f(x)=2sinx＋2sinxcosx
　　＝2sinx(1+cosx)
f'(x)=2cosx+2cos(2x)
　　　=2cosx+4(cosx)^2-2
として増減表を作ればいいと思います。

お礼

ご回答いただきありがとうございました！