数学II 三角関数の問題

質問

「東京医大」の2003年の入試問題らしいのですが

a, b, c, d を定数とする。ただし、b>0 , 0≦d<2π とする。関数
f(x)=a + b sin(cx + d) が周期6πの周期関数で、x=πで最小値 -2 をとり、
最大値が38であるとき、a, b, c, d の値を求めよ。

c=1/3 は自分で求めた（あっているかは分かりません。）んですが、ほかが分かりません。
解説をお願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

＃1と＃2の解は回答とは言えない。

｜sin(cx + d｜≦1　と　b>0から、a-b≦f(x)≦a+b　であるから、a+b＝38、a-b＝-より(a、b)＝(18、20)　‥‥(1)
sin(cx + d)＝-1で最小から、cπ + d＝3π/2　‥‥(2)
又、条件から、f(x)＝f(x＋6π)　であるから、これはx＝0についても成立する。
よって、f(0)＝f(6π)　→　 sin(d) ＝ sin(6cπ + d) ‥‥(3)
(3)で差→積に変換すると、sin(3cπ)*cos(3cπ + d)＝0
0≦d<2π と(2)から、-3π/2＜3cπ≦9π/2　‥‥(5)、3π + d＝2cπ＋3π/2より、π＜2πc＋3π/2≦9π/2　‥‥(6)
sin(3cπ)＝0の時、(5)から　3cπ＝-π、0、π、2π、3π、4π
cos(3cπ + d)＝0　の時、2cπ＋3π/2＝3π/2、5π/2、7π/2、9π/2

c＝0は除外する。
例えば、c＝1の時も成立するから、＃1と＃2の解が不足な解、というより誤りだと直ぐわかる。

お礼

皆さま回答ありがとうございました。

回答No.6

alice_44

No.2 は、d の値のところで
「π」を書き落としているが、ほぼ正解。
No.1 の考え方も、問題ない。
No.4 も、正しい。

「周期6πの周期関数」といえば、
単に周期6πを持つ関数のことではなく、
基本周期が6πである関数を意味するから、
C=1 は解に含めない解釈が常識的。

回答No.5

mister_moonlight

ミスったように思ったが、＃3の回答で良いんだ。
それにしても、難しくないが、結構手間がかかる問題のようだ。

回答No.4

mister_moonlight

自分で、とんでもないミスをしていた。

sin(cx + d)＝-1で最小から、cπ + d＝3π/2　‥‥(2)　→　cx + d＝3π/2 のミス。
全体は、後から書き込む、ごめん。

回答No.2

gohtraw

＃１です。訂正。ｓｉｎ（ｘ）の周期は２πなので、周期を３倍にするためにはｃ＝±１／３。
ｓｉｎ（±ｘ／３＋ｄ）は±ｘ／３＋ｄ＝３π／２のとき最小値をとるのでｄ＝７／６、１１／６（復号同順）。

回答No.1

gohtraw

－１＜＝ｓｉｎ（ｃｘ＋ｄ）＜＝１　なので振幅は２です。一方ｆ（ｘ）の振幅は４０なので、２０倍に拡大しています。よってｂ＝２０。
－２０＜＝ｂｓｉｎ（ｃｘ＋ｄ）＜＝２０　なのでａ＝１８。
ｓｉｎ（ｘ）の周期は２πなのでｃ＝１／３。
ｓｉｎ（ｘ／３）はｘ＝３＊３π／２　で最小値をとるのでｄ＝７π／２。