パーシバルの等式のL^2(R)とは？

質問

画像を貼付します。

（１）L^2(R)の意味

関数fとgは、二乗をして、－∞～∞まで積分しても
発散せずに収束する値を持つ

という意味でしょうか？

（２）その意味について
二乗をした積分が収束すると、何が良いのでしょうか？

※なるべくバカな私でもわかるように説明していただけると幸いです。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

関数の値域が複素だと、
∫ |f(x)|^2 dx の |f(x)|^2 を f(x)^2 で
置き換えることはできませんね。
L^2(R) なら R→R だから、f(x)^2 でもよいけど。

お礼

ご回答ありがとうございます！

うぅむ、凄い頭良いですね。

回答No.1

alice_44

(1)それでok.
L^2 は、通常「∫[全空間] |f(x)|^2 dx が有界」と定義するけど、
L^2(R) なら、|f(x)|^2 と f(x)^2 は同じだから。

(2)内積が定義できる.
関数 f,g と定数 a,b があるとき、af+bg もまた関数である。
L^2 のような、ある特徴を持つ関数のクラスも、
よく使われるものには、線型空間になるものが多い。
L^2 であれば、f,g の内積を =∫[全空間] f(x)g(x) dx と
定義することで、この線型空間を内積空間とすることができ、
ますますベクトルっぽく扱える。そこが嬉しいのかと。

お礼

早速の回答ありがとうございます。

（１）の回答
＞L^2 は、通常「∫[全空間] |f(x)|^2 dx が有界」と定義するけど、
＞L^2(R) なら、|f(x)|^2 と f(x)^2 は同じだから。

確認ですが、
L^2は複素数も含めて、
L^2(R)は実数のみ、ということでしょうか？