2乗可積分関数とは何でしょうか？

質問

フーリエ関数などを学んでいる入門者です。
2乗可積分関数を満たす関数がどのような意味を持つのか教えていただきたいです。

2乗可積分関数
∫(0から2πまで)|f(x)|^2 < ∞
とされています。
∫(0から2πまで)|f(x)|　ならば、xが0～2πまでの面積を表わす
のように答えていただけますと非常に助かります。

よろしくお願いします。

回答No.2

naozou

物理や工学への応用については良くわからないので、数学的な観点でお答えします。
たとえば、2乗可積分関数はフーリエ変換ができる（存在する）ための十分条件になります。そのためフーリエ変換をする観点からみると、重要な関数になります。

> L2空間とL2ノルムが等距離的
正確には、L2空間上ではL2ノルムはフーリエ変換で等距離的、みたいな感じだとおもいます。

> フーリエ級数で表現できる集合がL2空間という事でしょうか？

数学の関数解析という分野がありますが、これは個々の関数の振る舞いや個性をなるべく省いて、関数の集合をいろいろな見方で区切り、その構造や性質を調べる分野です。
関数解析の見方で、L2空間がよくでてきます。L2空間（二乗可積分関数の集まり）では、いろいろな変換（写像）が考えられるのですが、フーリエ変換はL2空間のなかでノルムを変化させない変換の代表例としてよくでてきます。
たとえば、ベクトル空間で等距離写像（行列）が少し特別にでてきたみたいなものです。（実際、L2空間もベクトル空間なのですが）

少し抽象的になってくるので、なかなか説明が難しいですね。

※ ずいぶん昔に勉強したことなので、私などよりもより詳しい方や現役の方の回答がつくといいですね。

お礼

お礼が遅れた事を謝ります。申し訳ありませんでした。
この回答は見ていたのですが、どうにも理解できませんでした。
学び続けまして、今になりようやく大部分で理解し、解決に至りました！
理解するきっかけを下さった事を大変感謝いたします。
ありがとうございました！

回答No.1

naozou

いくつかの観点から答えがでそうな質問なのですが、L2空間やL2ノルムをご存じかどうかで大きく変わってくると思います。そのあたりいかがでしょうか？

あと、細かいのですが、

> ∫(0から2πまで)|f(x)|　ならば、xが0～2πまでの面積を表わす

というのは、積分の素朴なイメージであって、被積分関数fについての性質を表すわけではありません。二乗可積分関数といえば、
∫(0から2πまで)|f(x)|^2 < ∞
を満たす性質をもつ関数、ということになるので、質問が少し正確ではありません。

「二乗可積分関数がフーリエ解析ではどういう意味合いをもつのか？
（二乗可積分でない関数は、どういう振る舞い、もしくは扱いにくい点があるのか？）」
という質問がご質問者の疑問だと思いますよ。

お礼

この質問だけでは確かに答え難かったと思います。
大変失礼しました。

調べ続けているとL2空間とL2ノルムが等距離的であるという表記を見ましたが
やはりL2空間とは何？というところで引っ掛かってしまいます。
フーリエ級数で表現できる集合がL2空間という事でしょうか？
0から2πの間の大きさが有限に収まる…。
それが何の意味を持つのかがしっくりきません…。

アドバイスに感謝いたします。