広義積分の・・・・

質問

∫(0－1)(logx/1-x)の二乗dxの収束の証明です。
積分範囲が０から１で、f(x)=(logx/1-x)の二乗の式です。
どうしても発散してしまいます。
どうか、わかる方お願いします。

回答No.4

minardi

便利そうな定理があったので、これをつかえばよさそうです。

【定理】f(x)は(a,b]で連続な関数として0<α<1のようなαにたいして0<Mがあって
(x-a)^α|f(x)|<Mとなるなら∫[a,b]f(x)dxは、(絶対)収束する。

【証明】a<cとして ∫[c,b]|f(x)|dx<M∫[c,b](x-a)^(-α)dx
=(M/(1-α))[(x-a)^(1-α)][c,b]=(M/(1-α))((b-a)^(1-α)-(c-a)^(1-α))
このとき、|f(x)|≧0で、c→aのとき積分区間が増加するので
単調に増加するが、これが上に有界なので∫[c,b]|f(x)|dxは収束する。

被積分関数は(0,1)で連続で、0,1での極限値は
lim[x→0](logx/(1-x))^2=∞
lim[x→1](logx/(1-x))^2=lim[x→1](logx/(-x(1-x)))=lim[x→1](1/x)=1
となる。このときx=1での極限値は有限なのでx→1としたときの広義積分は収束する。

lim[x→0]√x(logx/(1-x))^2=lim[x→0](logx/(1/x^(1/4)-x^(3*4)))^2
={lim[x→0](logx/(1/x^(1/4)-x^(3/4)))}^2
={lim[x→0](1/x((-1/4)/x^(5/4)-(3/4)x^(-1/4)))}^2
={lim[x→0](1/((-1/4)/x^(1/4)-(3/4)x^(3/4)))}^2
={lim[x→0](x^(1/4)/((-1/4)-(3/4)x))}^2=0
したがって、定理よりx→0としたときの広義積分は収束する。

回答No.3

minardi

部分積分を使う方法がありましたので、やってみました。
0<a<b<1としてI=lim[a→0,b→1]∫[a,b](log(x)/(1-x))^2dxを考える。

t=1-xとおくとI=lim[a→0,b→1]∫[1-b,1-a](log(1-t)/t)^2dt(0<1-b<1-a<1)
なので、変数をあらためて0<a<b<1として
I=lim[a→0,b→1]∫[a,b](log(1-x)/x)^2dx
と表すことができる。

I_[a,b]=∫[a,b](log(1-x)/x)^2dx
=[-(log(1-x))^2/x][a,b]-∫[a,b](2log(1-x)/(x(1-x)))dx
=[-(log(1-x))^2/x][a,b]+2∫[a,b](-log(1-x)/x)dx-2∫[a,b](log(1-x)/(1-x))dx
=[-(log(1-x))^2/x][a,b]+2∫[a,b](-log(1-x)/x)dx+[(log(1-x))^2][a,b]

１項目と３項目について、ロピタルの定理をつかって整理すると
lim[a→0,b→1][-(log(1-x))^2/x+(log(1-x))^2][a,b]
=lim[b→1](log(1-b)^2)((b-1)/b)-lim[a→0]log(1-a)^2((a-1)/a)
=lim[b→1](log(b-1)^2)/(1/(b-1))+lim[a→0]log(1-a)^2)/a
=lim[b→1](2log(b-1))/(-1/(b-1))+lim[a→0](-2(log(1-a))/(1-a))
=lim[b→1](2)/(1/(b-1))=0

したがってI=lim[a→0,b→1]2∫[a,b](-log(1-x)/x)dxとあらわされて
1/√(1-x)≧(-log(1-x)/x)≧0よりIが収束する。

回答No.2

minardi

すみません。2乗がついてましたね。
ちょっと、きれいじゃないですが2つの関数をつかってみました。
もっとうまい方法があると思いますが、参考になればとおもいます。

f(x)=1/x^(1/3)-x^(2/3)+logxとおく
f'(x)=(-1/3)/x^(4/3)-(2/3)/x^(-1/3)+1/x
=(1/(3x^(4/3)))(-1-2x+3x^(1/3))

-1-2x+3x^(1/3)についてt=x^(1/3)とおくと
g(t)=-1-2t^3+3t=-(x-1)(x-（√3-1)/2)(x-(-√3-1)/2) となるので
0≦t≦(√3-1)/2dでg(t)≦0
したがって((√3-1)/2)^3=(6√3-10)/8>(1.7*6-10)/8=1/40
0≦x≦1/40でf'(x)≦0

f(e^(-6))=1/x^(1/3)-x^(2/3)+logx
=e^2-e^(-4)-6>2.7*2.7-1-6>0

これより
0≦x≦e^(-6)
f(x)≧0であることがわかる。
よって
1/x^(1/3)≧-logx/(1-x) (0≦x≦e^(-6))…(i)

また
-loge^(x)/(1-x)≦1/√{e^(-6)}≦e^3
より
e^3≧-logx/(1-x) (e^(-6)≦x≦0)…(ii)

(i)と(ii)の左辺の関数の２乗で
(logx/(1-x))^2をおさえることができるとおもいます。

回答No.1

minardi

f(x)=1/√x-√x+logxとおく(0≦x≦1)
f'(x)=(-1/2)/√x^3-(1/2)/√x+1/x
=(1/2√x^3)(-1-x+2√x)≦0(相加平均と相乗平均の関係)
f(1)=1/√1-√1+log1=0
f(x)≧0であることがわかる。(0≦x≦1)

f(x)/(1-x)=1/√x+logx/(1-x)なので
1/√x≧-logx/(1-x) (0≦x≦1)
とできるとおもいます。