ラプラス変換 f(t)=t^nの証明

質問

ラプラス変換のf(t)=t^nの証明がどうしてもうまくいきません。帰納法で証明しろと先生に言われましたが出来ません。誰かできる人解いてもらえませんか。途中の過程も詳しくお願いします

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.1です．訂正です．

nが0以上の整数のとき

L{t^n}=∫_0^∞t^ne^{-st}dt=n!/s^{n+1}

を帰納法で示すのですね．

n=0のとき

L{t}=∫_0^∞e^{-st}dt=[-e^{-st}/s]_0^∞=1/s

で成り立つ．

nのとき正しいと仮定すると，

L{t^n}=∫_0^∞t^ne^{-st}dt=n!/s^{n+1}(1)

n+1のときについて

L{t^{n+1}}=∫_0^∞t^{n+1}e^{-st}dt=∫_0^∞t^{n+1}(-e^{-st}/-s)'dt

=[t^{n+1}(-e^{-st}/-s)]_0^∞-∫_0^∞(n+1)t^n(-e^{-st}/-s)dt

={(n+1)/s}∫_0^∞t^ne^{-st}dt

(1)を代入して

L{t^{n+1}}={(n+1)/s}n!/s^{n+1}=(n+1)!/s^{n+2}

よってn+1のとき正しい．

よって

∫_0^∞t^ne^{-st}dt=n!/s^{n+1}(n=0,1,2,・・・)

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

L_n(s)=∫_[t=0～∞] t^n e^(-st)dt
=[(-1/s)t^n e^(-st)]_[t=0～∞] + ∫_[t=0～∞] (n/s)t^(n-1) e^(-st)dt
=(n/s)L_(n-1)

L_0(s)=1/sより、
L_n(s)=n!/s^(n+1)

回答No.1

ereserve67

nが自然数のとき

L{t^n}=∫_0^∞t^ne^{-st}dt=n!/s^n

を帰納法で示すのですね．

n=1のとき

L{t}=∫_0^∞te^{-st}dt=[-e^{-st}/s]_0^∞=1/s

で成り立つ．

nのとき正しいと仮定すると，

L{t^n}=∫_0^∞t^ne^{-st}dt=n!/s^n(1)

n+1のときについて

L{t^{n+1}}=∫_0^∞t^{n+1}e^{-st}dt=∫_0^∞t^{n+1}(-e^{-st}/-s)'dt

=[t^{n+1}(-e^{-st}/-s)]_0^∞-∫_0^∞(n+1)t^n(-e^{-st}/-s)dt

={(n+1)/s}∫_0^∞t^ne^{-st}dt

(1)を代入して

L{t^{n+1}}={(n+1)/s}n!/s^n=(n+1)!/s^{n+1}

よってn+1のとき正しい．

よって

∫_0^∞t^ne^{-st}dt=n!/s^n(n=1,2,・・・)

※n=0のときも成り立ちます．