線形代数の問題・・・・・・・だと思います。

質問

はじめまして数学の問題で、

Aが実対象行列ですべての固有値が異なる時、Pは直行行列であることをしめせ

という問題があるのですが、証明の仕方がわからないので、教えていただきたいです。よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

問題文ですが，漢字変換ミスも含めて正確には

「nを自然数とする．n次正方行列Aが実対称行列であるとき，Aの固有値がすべて異なるならば，Aは直交行列Pで対角化できることを示せ．」

だと思います．線形代数の有名事実なのでどんな本にも載っていると思いますが，簡潔には以下のようになります．

まず，以下の話はすべて実ベクトル空間でできるので，行列の成分や固有値などはすべて実数です．

(☆)A^T=Aa_{ij}=a_{ji}

です．一般に，Aの固有値は重複度を含めてn個あります．それらを

a_1,a_2,・・・,a_n

とします．またa_kに属する固有ベクトルをx_kとします．x_iとAx_jの内積を計算します．

<x_i,Ax_j>=x_i^TAx_j=x_i^Ta_jx_j=a_j(x_i^Tx_j)=a_j<x_i,x_j>

さて☆より，これは

<x_i,A^Tx_j>=x_i^TA^Tx_j=(Ax_i)^Tx_j=(a_ix_i)^Tx_j=a_ix_i^Tx_j=a_i<x_i,x_j>

ともかけます．よって

a_j<x_i,x_j>=a_i<x_i,x_j>

(a_j-a_i)<x_i,x_j>=0

もし，固有値がすべて異なるなら，i≠jならa_i≠a_jだから<x_i,x_j>=0，すなわち

（★）i≠j⇒<x_i,x_j>=0

この事実を行列を使って表現しましょう．x_jを第ｊ列ベクトルとする行列

P=(x_1 x_2 ・・・ x_n)

を考えます．この(i,j)成分をx_{ij}とかくと，

x_j=(x_{1j} x_{2j} ・・・ x_{nj})^T

となります．したがって直交条件★は

i≠j⇒Σ_{k=1}^nx_{ki}x_{kj}=0

となります．固有ベクトルの大きさをすべて1にしておきます：

<x_i,x_i>=Σ_{k=1}^nx_{ki}x_{ki}=1

すると次の等式が成り立ちます．

Σ_{k=1}^nx_{ki}x_{kj}=δ_{ij}

δ_{ij}はi=jのとき1でi≠jのとき0，いわゆるクロネッカーのデルタで単位行列の(i,j)成分です．また左辺は直交行列Pの転置P^TとPの行列積の(i,j)成分になっています．つまり，

P^TP=E

が成り立つことを示しています．これが★の行列表現です．このことからPは正則でP^{-1}=P^T，すなわち，行列Pは直交行列であることが分かりました．

さて，このPによってAが対角化されることは次のようにしてわかります．

AP=A(x_1 x_2 ・・・ x_n)

=(Ax_1 Ax_2 ・・・ Ax_n)

=(a_1x_1 a_2x_2 ・・・ a_nx_n)

=PΛ

ここにΛの(i,j)成分はa_iδ_{ij}となります．つまり，Λは対角線に左上からa_1,a_2,・・・,a_nが並ぶ対角行列です．なぜなら，

(AP)_{ij}=Σ_{k=1}^na_{ik}x_{kj}=a_jx_{ij}（∵Ax_j=a_jx_j）

（PΛ）_{ij}=Σ_{k=1}^nx_{ik}a_kδ_{kj}=x_{ij}a_j

となるからです．こうして両辺にP^{-1}=P^Tをかけると

P^TAP=Λ

となり，Aは直交行列Pにより対角化されました．

※なお，この定理は固有値に同じものがあっても成り立ちます．証明はその方がややこしいですけど．

お礼

回答していただきありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。
もう一度、参考書の確認をしなおしたいと思います。

回答No.3

alice_44

あー、書いちゃったか。
A と P の関係を質問者自身が確認、整理
することが大切だと思ったんだがな。

P が「直交行列」だというのは、(P^t)P=E
であることを指すが、
No.2 の方法で証明することができるのは
(P^t)P が対角行列であることまで。

それもそのはず、
(P^-1)AP が対角行列になるような P は
A から一意には決まらなくて、
(P^t)P=E になるような P を採ることも
できる…という話でしかないから。

そこを含めて、そもそも P とは何なのか
を理解する必要があるのだ思う。

固有値が重複する場合の話はなおさらで、
重複した固有値があると、
(P^-1)AP が対角行列だというだけでは、
P の列ベクトルが直交するとは限らなくなる。
その場合も、直交行列であるような P を
採用することもできる…という話になる。

だから、ちゃんと勉強しようよ。
これを機会に、線型写像による固有空間分解
まで、一通り成書を読んどくことを勧める。

お礼

すみません
もう一度一通り教科書、参考書を詳しく確認してみたいと思います。
ご回答ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

alice_44

とりあえず、その A と P がどういう関係なのか
自分の言葉で記述することからかな。
問題文に解らない箇所があれば、それを調べて、
問題そのものを、自力でキチンと説明してみよう。
その作業が、一番のポイント。
題意が理解できれば、ほぼ自明な証明だから。