線形代数の問題

質問

Aを3×3の直交行列とする。
・det(A)=-1のときAは固有値-1を持つことを示せ。
・すべての固有値の絶対値は1であることを示せ。
・R^3の線形写像v→Avの幾何学的意味を考察せよ。

解き方が全く分からず、困っています。
どれかひとつでもいいので証明できる方、よろしくお願いします。

回答No.3

uyama33

ごめんなさい。

間違えました。確かに複素内積をとって考えると
λの絶対値の２乗が１です。

ところで、A　の要素は実数ですか？

・R^3の線形写像v→Avの幾何学的意味を考察せよ。

を考えると、A　の成分は実数と考えられます。
この場合は、
固有方程式は、実数係数の方程式となり、
虚数の解があれば、その共役複素数も解となります。
したがって、
虚数の解を持つ場合は、λ、λの共役、そしてもうひとつ実数。
しかも絶対値は１ですから、
この３つをかけて、-1になるには最後の実数が　-1　になるしかない。

虚数解を持たないときは、
1と-1の組み合わせになる。
そして、場合わけする。

A　の成分が実数でないときは、私には出来ません。

回答No.2

anisakis

納得しないでください
cosθ -sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1
は直交行列ですが
固有値は1,exp(iθ),exp(-iθ)です
λ^2=1ではなく|λ|^2=1です
対称行列　エルミート行列以外は固有値は一般には複素数です
転置で内積考えるとおかしくなるので共役転置でやってください

回答No.1

uyama33

Ax=λx、xは０ではないとする。

t(x)x=t(x)t(A)Ax=t(Ax)(Ax)=t(λx)(λx)=(λ^2)(t(x)x)
(1-λ^2)=0
λ=1 or -1

*(U)AU が三角行列で対角線上に固有値が並ぶようにして
行列式を考える。
3つの固有地の積は　-1　
上とあわせて場合わけをする。

t(x) は転置行列

お礼

納得できました。
わかりやすい回答ありがとうございます！