logの計算

質問

2(log(1/4)X)＾2-log(1/4)x-1≦0
の問題で
t=log(1/4)xとおくと
(2t＋1)(t-1)≦0
-1/2≦t≦1になるのはわかるのですが

log(1/4)2≦log(1/4)x≦log(1/4)1/4になる方法がわかりません。
これはどうやってどうして表されるのでしょうか？
答えは1/4≦x≦2になるそうですがよくわかりません。
それから、
違う問題なのですが
2・log4(x＋1) = 2・log2(x＋1)/log(2)4
　になる方法がわかりません。

2・log2(x＋1)/log(2)4の式がどうやってでるのかわかりません。
2・log4(x＋1) = log2(x＋1) にしたいのですが。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。＃２です。

＞log(1/4)(x1)=1を解くと、x1=1/4
log(1/4)(x2)=-1/2を解くと、x2=(1/4)^(-1/2)=1/√(1/2^2)=2
となるので、xはx1=1/4,x2=2という間ですから、
1/4≦x≦2

＞がよくわかりません。
(x1)や(x2)はどこからでたものですか？

同じxを使うとうややこしいかなと思ったので、x1,x2というのを使ったのですが
つまりは、

log[1/4]x = 1
となるようなxと、
log[1/4] = -1/2
となるようなxを求めて、その間だ、と思えばいいです。
その方が簡単でしょうか？

log[1/4]x=1
となるのは、x=1/4のとき（これはいいですよね？）

log[1/4]x=-1/2
となるのは、(1/4)^(-1/2)=2
となることから、求めるxの範囲は、１と２の間だ、ということになるんですね。
分かりにくければ、それぞれの値に対するxの値を求めて
定義域（xの値の範囲）を出せばいいです。難しく考えないでいいですよ。

＞2・log4(x＋1) = 2・log2(x＋1)/log(2)4
　になる方法がわかりません。

＞＞2log[4](x+1)を変形していきたいわけです。

＞（与式）＝2{log[2＾2](x+1）になりますか？
そして、どうして、log[2]4}
を割るのでしょうか？

後半ですが、左辺
2*log[4](x+1)を変形していきたいわけですよね？
それを右辺の形に持っていけばいいんですよね。

ところで、公式ですが

log[a]b=(log[c]b)/(log[c]a)

というのがあったと思います。これを利用すればいいわけですね。
ここで、a=4,b=(x+1),c=2だと考えれば

log[4](x+1)=(log[2](x+1))/(log[2]4)
　　　　　=log[2](x+1)/2・・・（★）

ということがいえるわけです。
さて、左辺は（★）のちょうど２倍でしたよね。

2log[4](x+1)=log[2](x+1)

となって、右辺に持っていくことができましたね。
ご参考になればうれしいです。

補足

もうひとつきいていいですか？
＞log(1/4)(x1)=1
log(1/4)(x2)=-1/2
となるんですね。

なんですが
逆ではなないのでしょうか？
log(1/4)(x1)=-1/2
log(1/4)(x2)=-1
ではないでしょうか？

回答No.4

fushigichan

＃２＃３です。お返事遅くなりすみません。

＞log(1/4)(x1)=-1/2
log(1/4)(x2)=-1
ではないでしょうか？

x1,x2は便宜上私が勝手においた文字ですので、どちらでもいいですよ。
＃２で

＞-1/2≦log(1/4)x≦1
log(1/4)(x1)≦log(1/4)x≦log(1/4)(x2)
とおくと

＞log(1/4)(x1)=1
log(1/4)(x2)=-1/2
となるんですね。

の部分x1,x2が入れ替わってしまっていますね。すみません。ややこしかったですね。
x1,x2と区別しないで、そのまま

log[1/4]x=-1/2
となるxと
log[1/4]x=1
となるx
をそれぞれ求めて、その間なんだと認識したほうが分かりやすいですね。

回答No.2

fushigichan

boku115さん、こんにちは。
対数関数、ややこしいですよね。

＞2(log(1/4)X)＾2-log(1/4)x-1≦0
の問題で
t=log(1/4)xとおくと
(2t＋1)(t-1)≦0
-1/2≦t≦1になるのはわかるのですが

＞log(1/4)2≦log(1/4)x≦log(1/4)1/4になる方法がわかりません。

log(1/4)x = t
とおくのはいいですよね？これがいっぱい出てきますから。
ここで注意すべきなのは、log(a)x　という対数の底であるa = 1/4
となっている点です。

対数関数のグラフを思い出してください。
底が１よりも小さい場合は、１よりも大きい場合とグラフの形が違いましたよね？

0<a<1のとき、グラフは右肩下がりのグラフとなります。
つまり、ｘが大きければ大きいほど、log(1/4)xの値は小さくなるというわけですね。

ですから、

-1/2≦t≦1　すなわち

-1/2≦log(1/4)x≦1
log(1/4)(x1)≦log(1/4)x≦log(1/4)(x2)
とおくと

log(1/4)(x1)=1
log(1/4)(x2)=-1/2
となるんですね。

log(1/4)(x1)=1を解くと、x1=1/4
log(1/4)(x2)=-1/2を解くと、x2=(1/4)^(-1/2)=1/√(1/2^2)=2
となるので、xはx1=1/4,x2=2という間ですから、
1/4≦x≦2

のようになります。

＞2・log4(x＋1) = 2・log2(x＋1)/log(2)4
　になる方法がわかりません。

ここでいうlog4(x+1)の４は底ですよね？
ちょっと分かりにくいので、底は[]でくくっておきますね。

2log[4](x+1)を変形していきたいわけです。
そこで、4~2^2であることから、底を２に統一してしまいましょう。

（与式）＝2{log[2](x+1)/log[2]4}
=2{log[2](x+1)/2}
=log[2](x+1)

となって、求めたい式が出てきましたね。
ご参考になればうれしいです。頑張ってください！！

お礼

なんどもすいません。
これもわかりません。
＞2log[4](x+1)を変形していきたいわけです。
そこで、4~2^2であることから、底を２に統一してしまいましょう。

（与式）＝2{log[2＾2](x+1）になりますか？
そして、どうして、log[2]4}
を割るのでしょうか？
知識がなくてすいません。

補足

>-1/2≦log(1/4)x≦1
log(1/4)(x1)≦log(1/4)x≦log(1/4)(x2)
とおくと

log(1/4)(x1)=1
log(1/4)(x2)=-1/2
となるんですね。

log(1/4)(x1)=1を解くと、x1=1/4
log(1/4)(x2)=-1/2を解くと、x2=(1/4)^(-1/2)=1/√(1/2^2)=2
となるので、xはx1=1/4,x2=2という間ですから、
1/4≦x≦2

がよくわかりません。
(x1)や(x2)はどこからでたものですか？
すいません。

回答No.1

rindaryu

－１／２＝log（１／４）１／４＾（－１／２）
　＝log（１／４）２
１＝＝log（１／４）１／４
だからです。

＞2・log4(x＋1) = 2・log2(x＋1)/log(2)4
＞　になる方法がわかりません。

log（a)b＝log(c)b／log(c)a
だからです。これは教科書を確認してください。