ｌog0*0 の計算

質問

以前の質問が、分割質問に該当するとして削除されました。
回答者には、ご迷惑をお掛けしてすみませんでした。
考え直します。

お詫び…にはなりませんが、新たな質問をします。

log0*0 の計算を考えます。
log(1-x)=Σ[n=1,∞](-1/n*x^n)
x=1 だと収束しません。
この式に、0 を掛けます。
0*log(1-x)=Σ[n=1,∞](-1*0/n*x^n)=0
0*(-∞) が 0 になるのは不思議なのですが、してはいけない変形はどこですか？

回答No.6

arrysthmia · ベストアンサー

←No.2 補足
「してはいけない」のは、両方ですが、
0*(-∞) が 0 になって不思議な理由は、0倍の方でしょう。
質問の中で、log(1-x) のマクローリン展開は、
0 log(1-x) = 0 を示すのに使われているだけで、
あまり用をなしていません。迷彩なのでしょうか？

←No.1 補足
＞ c が 0 でなければ、収束してなくても変形できます。

c ∞ = ∞ (ただし、c≠0) という式に意味があるとすれば、
そのとおりです。この式に、ちゃんと意味がありますか？
例の「チョー実数」は、上手くいっていないようですが。

お礼

＞0*(-∞) が 0 になって不思議な理由は、0倍の方でしょう。

私もそう思います。
でも、そういうルールが存在したか、に自信がありません。
＃どう考えても使い道がないので、省略されたのかも…

＞c ∞ = ∞ (ただし、c≠0) という式に意味があるとすれば、
＞そのとおりです。この式に、ちゃんと意味がありますか？

収束半径が変化しないという意味があります。

ありがとうございました。

P.S.
＞例の「チョー実数」は、上手くいっていないようですが。

座礁しました。
結局超実数の定義が出来ず、質問点がはっきりしないのが敗因です。
付き合ってもらったのに、申し訳ないです。

回答No.7

Tacosan

極限移行と分配法則が必ずしも両立しないというのはよく知られた事実だと思ったんだがなぁ.
特に極限がらみは微妙な点が多いので, 思い付きだけで処理を進めることはできません. 「思い込み」と「直感」は違うものなので気を付ける必要があります.
ああ, 絶対収束する場合には思い込みもだいたい使えますね.

お礼

＞極限移行と分配法則が必ずしも両立しないというのはよく知られた事実だと思ったんだがなぁ.

あいまい過ぎて使えない気がします。
「必ずしも両立しない」とは、どういう意味ですか？
普通、法則とは、何々の条件では何々が成り立つというものです。
「でも時々成り立ちません」と言われたら、その法則は使えません。
この時は成り立つ、この時は成り立たないと、条件をはっきりしてもらえませんか？

ありがとうございました。

回答No.5

info22

#2です。
補足質問について

>どちらが本当の理由ですか？

質問者さんはどちらと考えますか？

x=1で定義されないlog(1-x)について、
形だけのx<1のマクローリン展開式を
x=1について適用することが
間違いの元です。
これがしては第一のいけない理由です。

そのあとゼロを掛けてできる式に対して、意味のない操作をするといった2重の誤った操作をしています。
これは従のいけない理由です。

数学的には、どちらもしてはいけない操作です。

お礼

log(1-x)=Σ[n=1,∞](-1/n*x^n)
これは、|x|<1 に限れば正しい式です。
その後の、0 を掛ける操作に分配法則が使えたと仮定すると、その式の値は恒等的に 0 になります。
これも、|x|<1 に限れば正しい式です。
違いは、最初の式の収束半径が 1 で、0 を掛けた式は∞になります。

ですから、質問内容は、収束半径が何故変わったのか、変えないためにはどういう条件が必要なのか、という部分です。

ありがとうございました。

回答No.4

masa2211

再レス。
＞元の式が、たとえば、x^2*logxの場合でも、0*(-∞)なんだけど、lim(x→0)x^2*logx＝-∞。

訂正します。例が変でした。
＞＞元の式が、たとえば、(1/log2x)*logxの場合でも、0*(-∞)なんだけど、lim(x→0)(1/log2x)*logx＝1。

回答No.3

masa2211

＞0*(-∞) が 0 になるのは不思議
なぜ不思議なのかわかりません。
0*(-∞) は未定義（不定のほうの未定義であり不能ではない）なので、0*(-∞)となる元の方程式次第で任意の値（ただし、0 or 負）をとってよいため、
0になっても何も不思議は無いでしょう。

＞してはいけない変形はどこですか？
log0*0の元の式が何なのか示されていないのにかかわらず変形できるとしている点。
元の式がｘ*logxの場合なら、質問文のとおりの変形となり、答はゼロ。何も矛盾なし。
元の式が、たとえば、x^2*logxの場合でも、0*(-∞)なんだけど、lim(x→0)x^2*logx＝-∞。
よって、log0*0という情報だけでは、元の式がｘ*logxなのかx^2*logxなのか、それ以外の何かなのか判別できないにもかかわらず、
勝手に元の式をｘ*logxと決め付け、それに基づき変形することは明らかな間違い。

これと同様なことは、高校の教科書に
0/0は未定義、lim x→0 sin(x)/x=1 、lim x→0 sin(x)/x＾2=0というのが載っています。
※今の教科書でどうなっているかは知らない。私の使った教科書には載っていた。
これを不思議に思わず、
0*(-∞) は未定義、lim x→0 ｘ*log=0　を不思議に思う。
このギャップがよくわかりません。

お礼

＞log0*0の元の式が何なのか示されていないのにかかわらず変形できるとしている点。

私は、元の式として何も想定していません。
その場合に、log0*0 が計算できるとは思っていません。
不思議なのは、無限級数に対し分配法則が使えない点。
でも、単に使えないのが不思議なのではなく、使えないのは分かるのに、それが何というルールに従っているのか、分からないのが不思議なのです。

0 除算がいけないのは周知の事実ですし、√の場合は符号に注意して外さないといけません。
私としては、「0 と無限級数の間に分配法則は成り立たない」というルールが分かりやすいと思います。
高校の教科書に載っているルールで、このケースに該当するものを示していただければ、納得できるのですけどね。

ありがとうございました。

回答No.2

info22

マクローリン展開
> log(1-x)=Σ[n=1,∞](-1/n*x^n) (x<1)　…(A)
は x<1で定義されています。
あくまで
x=1ではlog(1-x)そのものが存在せず、関数もマクローリン展開も
定義できません。（関数自体存在せず、収束しません）
したがって　x<1で定義されるゼロでない、(A)の左辺および右辺に0をかけると
>0*log(1-x)=Σ[n=1,∞](-1*0/n*x^n)=0
が成立する事は当然です。
単なる
0=0
の式になっただけです。

右辺の中の無限和の各項にゼロを
>Σ[n=1,∞](-1*0/n*x^n)
分割して各項にゼロを掛けること自体何の意味もありません。
>0*log(1-x)=
の前提にx<1で定義されるlog(1-x)は有限、つまり
log(1-x)<∞であるから
>0*log(1-x)
=0　なのです。

> 0*(-∞) が 0 になるのは不思議なのですが
これが間違いです。
0は完全なゼロです。
(-∞)そのものは数値ではありません。
0*N　(Nは非常に大きい正の整数）はゼロ…(■)
極限としての 0*(-∞)とは異なります。

お礼

色々な理由が書かれているように見えます、

＞x=1ではlog(1-x)そのものが存在せず、関数もマクローリン展開も
＞定義できません。（関数自体存在せず、収束しません）

これは、級数の収束を問題にしています。

＞0*log(1-x)=
＞の前提にx<1で定義されるlog(1-x)は有限、つまり

これは、0 乗算を問題にしています。

どちらが本当の理由ですか？

ありがとうございました。

回答No.1

arrysthmia

lim[x→1-0] log(1-x) = -∞ と
0 log(1-x) = 0 から、
0 (-∞) = 0 と結論してはいけない。

lim[x→a] c f(x) = c lim[x→a] f(x) と変形できるのは、
lim[x→a] f(x) が収束するときだけです。

lim[x→∞] (0 x) なんかは、どう思いますか？

お礼

lim[x→∞] (0 x) = 0 lim[x→∞] (x)
左辺は 0 です。右辺は未定義ですね。

＞lim[x→a] c f(x) = c lim[x→a] f(x) と変形できるのは、
＞lim[x→a] f(x) が収束するときだけです。

c が 0 でなければ、収束してなくても変形できます。
無限級数は 0 に注意ですね。

ありがとうございました。