log, e^x の問題の解き方を教えてください。

質問

いつも大変お世話になっております。
以下の4題の問題の解き方をご教授頂けると幸いです。

(1)9＾ｘ-1＝3＾1+ｘ

私の答えはｘ＝2だったのですが、
正解はｘ＝3だそうです。

(2)2ｘ＾2e^x=3xe^x

私の答えはｘ＝3/2で、正解と合っているのですが、
正解にはｘ＝3/2、0　と”0”がありました。
これは0を代入すると式の左右が0になるから、という考え方でよろしいでしょうか。

(3)log1/3（←小さい3分の1）9=x

私の答えはｘ＝27なのですが、
正解はｘ＝-2なのだそうです。

logｘ（←小さいｘ）8＝-3

私の答えはｘ＝-2なのですが、
正解はｘ＝1/2だそうです。

上記が見づらかったら、
後ほど画像を添付させて頂こうと思っています。

お手数をおかけ致しますが、
どうぞよろしくお願い致します。

回答No.2

noname#195146 · ベストアンサー

カッコを付けて頂かないと、演算子がどこまで有効なのか、分かりません。そこを推測して回答してみますが、推測違いがあるかもしれません。ご了承をお願いします。

>(1)9＾ｘ-1＝3＾1+ｘ

9^(x-1)=3^(1+x)であれば、うまい具合に9=3^2ですから、

　(3^2)^(x-1)=3^(1+x)
∴3^{2(x-1)}=3^(1+x)

と変形でき、指数部分が等しくなるためには、

　2(x-1)=1+x
∴2x-2=1+x
∴2x-x=1+2
∴x=3

>(2)2ｘ＾2e^x=3xe^x

　(2x^2)(e^x)=3x(e^x)であれば、まずx≠0のときは両辺をxで割れて、2x(e^x)=3(e^x)とできます。

　2x(e^x)=3(e^x)
∴2x=3
∴x=3/2

　3/2≠0ですから、これを解いた条件x≠0と矛盾せず、x=3/2は解の一つです。

　次にx=0であれば、(2x^2)(e^x)=3x(e^x)の左辺も右辺も0で与式は成り立ちます。よって、x=0も解です。x≠0とx=0について調べたので、xが実数の場合については、以上で調べ尽くせています。

　したがって、x=3/2, 0。

>これは0を代入すると式の左右が0になるから、という考え方でよろしいでしょうか。

　その通りですが、それで実数解について調べ尽くせていると判断でき、そのように示せることが大事です。

>(3)log1/3（←小さい3分の1）9=x

　この書き方については、よく分かります。対数の底が1/3だということですね。

　両辺を指数関数に直すには、左辺のlogを外して9、その対数の底が1/3でしたから、右辺は1/3のx乗にして、9=(1/3)^xです。

　9=(1/3)^x

　右辺は、もしxが1より大きければ大きくなるほど、正で1/3より小さくなっていきます（解と無関係ですが、x→∞で0）。ですから、1より小さい。

　xを0にしても、右辺は1でまだです。xは負です。
　x=-1だと、(1/3)^(-1)={1/(1/3)}^1=3^1=3です。まだ9に届きませんが、マイナス1乗は、逆数を1乗することだ、ということに注意しましょう。

　マイナス2乗なら、逆数を2乗するばいいわけです。

　-2を試すと、x=-2のとき右辺がうまい具合に9になります。（(1/3)^(-2)=3^2=9ということですね。ですから、x=2が解です。

>logｘ（←小さいｘ）8＝-3

　底がxになるわけですね。対数を指数に直すには、やりかたは(3)と同様ですが、(3)の1/3がx、同じく(3)のxが-3とすることになります。

　8=x^(-3)になります。マイナス3乗ですから、xの逆数1/xを3乗するのと同じだと分かれば、大丈夫です。

　8=x^(-3)
∴8=(1/x)^3

　まだちょっと直感的には分かりにくい。そこで、y=1/xと置いてみます。すると、

　8=y^3

と書き換えられます。これなら、8=2^3が分かりさえすれば、y=2と分かります。

　さきほど、y=1/xとしたのでした。ですので、2=1/x　∴2x=1　∴x=1/2

お礼

丁寧なご解答ありがとうございました。
すごく分かりやすかったです。
書いていただいた事を自分で書いてまとめ直してみたら、
とても分かりやすい解答例を作ることが出来ました。
本当に感謝です。

回答No.8

shuu_01

１　　　１　
—　＝　——　＝ 3^（－2）
９　　　3^2

１　　　１
—　＝　——　＝ 2^（-3）
８　　　2^3

とか理解してないと解けないよ

お礼

書き込みありがとうございます。
はい、おっしゃるとおり、ここいら辺をまだ理解していませんでした。
書いて頂いた内容をポストイットに書き写し、
注意事項として自分のノートに貼っておきました。
すごく助かりました。

回答No.7

shuu_01

(3) に関しては、

y ＝ a^x

である時、

x ＝ log（底は a）y

って書く所でこんがらがってるんでないかな？

お礼

多分私はもう少し前の易しいところからやった方がいいかもしれません（涙）。
でも、同レベルの内容でも割とすらすら解ける問題もあるので、
自分で自分の脳みそが分かりません。

回答No.6

shuu_01

（２） 2ｘ＾2e^x=3xe^x

2x^2 e^x － 3x e^x ＝ 0
x （3x － 2）　e^x ＝ 0

y ＝ e^x のグラフ（下図） を見てわかるように
常に 0 より大きく、0 になりません

したがって、x （3x － 2） ＝ 0

この式を見たら、答え x = 0 と x ＝ 3/2 ってわかるよね

＞　これは0を代入すると式の左右が0になるから、
＞　という考え方でよろしいでしょうか。

その考え方で良いですけど、普通に解いたら答え、
２つ出てきます

お礼

書き込みありがとうございます。
わざわざグラフまで添付してくださって、大感謝です。

回答No.5

shuu_01

(3)log1/3（←小さい3分の1）9=x

＞　私の答えはｘ＝27なのですが、
＞　正解はｘ＝-2なのだそうです。

を答え忘れてた

（1/3）^x ＝ 9

1 / 3^x ＝ 9

3^x ＝ 1 / 9

3^x ＝ （1/3）^2

3^x ＝ ｛3^（-1）｝^2

3^x ＝ 3^｛（－1）×2｝

3^x ＝ 3^（－2｝

x ＝ －2

お礼

書き込みありがとうございます。
こんな問題をすらすら答えられる人に本当に憧れます。

回答No.4

noname#195146

#2です。書き間違えました。

誤>　-2を試すと、x=-2のとき右辺がうまい具合に9になります。（(1/3)^(-2)=3^2=9ということですね。ですから、x=2が解です。

　-2で試して正解になったのに、答を2としてどうする！＞自分orz　その他、校正漏れもあるし……。

正>　-2を試すと、右辺がうまい具合に9になります。(1/3)^(-2)=3^2=9ということですね。ですから、x=-2が解です。

　大変申し訳ありません。

お礼

たびたび書き込みありがとうございます。
とんでもございません、こちらこそ本当にお世話になっております。

回答No.3

shuu_01

(1)9＾ｘ-1＝3＾1+ｘ

＞　私の答えはｘ＝2だったのですが、
＞　正解はｘ＝3だそうです。

9^（2-1） ＝ 9
3＾(1+2) ＝ 3^3 ＝ 27

ですので、x = 2 ではありません

9^（3 - 1）＝ 9^2 ＝ 81
3^（1+3） ＝ 3^4 ＝ 3 × 3× 3× 3 ＝ 9 X 9 ＝ 81

ですので、x = 3 が正解です

指数法則の１つに

（a^m）^n ＝ a^mn

というのがあり、使えます

お礼

書き込みありがとうございました。

＞（a^m）^n ＝ a^mn

これもしっかりメモさせて頂きました。

回答No.1

shuu_01

（１）　9^（x -1） ＝ 3^（1 + x）
　　　（3^2）^（x - 1） ＝ 3^（1 + x）
　　　3^｛2（x - 1）｝＝3^（1 + x）
　　　2（x - 1） ＝ 1 + x
　　　x ＝ 1 + 2 ＝ 3

（２）　2x^2 e^2 ＝ 3x e^x
　　　2x^2 e^2 － 3x e^2 ＝ 0
　　　x （2x － 3） e^2 ＝ 0
　　　x = 0 あるいは x ＝ 3/2

（３） log（底 x） 8 ＝ －3
　　　x^（－3） ＝ 8
　　　　1
　　　―― ＝ 2^3
　　　 x^3
　　　　　　　　 1
　　　x^3 ＝ ――
　　　　　　　 2^3

　　　　　　　　1^3
　　　x^3 ＝ ――
　　　　　　　 2^3

　　　x^3 ＝ （1/2）^3

　　　x ＝ 1/2

お礼

早速のご解答ありがとうございました。
すごく助かります。