この問題解けますか？

質問

ｘｙ平面上の点（0,1)を中心とする半径１の円をＣとし、第一象限にあってｘ軸とＣに接する円Ｃ１を考える。次に、ｘ軸、Ｃ、Ｃ１で囲まれた部分にあって、これらに接する円をＣ２とする。以下同様にＣｎ（ｎ＝2,3,4,・・）をｘ軸、Ｃ、Ｃｎ－１で囲まれた部分にあって、これらに接する円とする。
（１）Ｃ１の中心のｘ座標をaとするとき、Ｃ１の半径ｒ１をaを用いて表せ。
（２）Ｃｎの半径ｒｎをaとｎを用いて表せ。
（３）lim(ｎ→∞）ｎ＾２ｒｎを求めよ。

　この問題が難しくて解けません。誰か解いてくれるとうれしいです。
ｎは英文字の下の部分につきます。すみません雑で・・・

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

（１）Ｃ１の中心のｘ座標をaとするとき、Ｃ１の半径ｒ１をaを用いて表せ。
＞(1+r1)^2=a^2+(r1-1)^2からr1=(a^2)/4・・・答
（２）Ｃｎの半径ｒｎをaとｎを用いて表せ。
＞（１）の結果を利用して、C2のx座標=2√r2
(r1+r2)^2=(2√r1-2√r2)^2+(r1-r2)^2から
r1r2=(√r1-√r2)^2、(√r1-√r2)^2-(√r1r2)^2=0
(√r1-√r2+√r1r2)*(√r1-√r2-√r1r2)=0
√r1-√r2+√r1r2=0では√r2=√r1/(1-√r1)、r2＞r1
となるので、√r1-√r2+√r1r2≠0、よって
√r1-√r2-√r1r2=0となり、√r2=√r1/(1+√r1)。
順次
√r2=√r1/(1+√r1)
√r3=√r2/(1+√r2)=√r1/(1+2√r1)
√r4=√r3/(1+√r3)=√r2/(1+2√r2)=√r1/(1+3√r1)
√r5=√r4/(1+√r4)=√r3/(1+2√r3)=√r2/(1+3√r2)
=√r1/(1+4√r1)
・・・・・・・・・・・・・
√rn=√r1/{1+(n-1)√r1}
よってrn=r1/{1+r1(n-1)^2+2(n-1)√r1}
=r1{(a^2)/4}/{1+r1{(a^2)/4}(n-1)^2+2(n-1)√r1{(a^2)/4}}
={(a^2)}/{4+{(a^2)}(n-1)^2+4a(n-1)}={(a^2)}/{a(n-1)+2}^2
={a/(an-a+2)}^2・・・答
（３）lim(ｎ→∞）ｎ＾２ｒｎを求めよ。
＞lim(n→∞)n^2rn=lim(n→∞){an/(an-a+2)}^2
=lim(n→∞){a/(a-a/n+2/n)}^2=1・・・答