lim

質問

a[n]=(n-1)/(n+1)であるとき
lim[n→∞]a[n]=1を示せ

0＜|a[n]-1|＜εを示す方法を教えてください

回答No.1

ereserve67

ε-N論法で示したいわけですね．

(1)1-a[n]={n+1-(n-1)}/(n+1)=2/(n+1)>0

ですが，ここで任意のε>0に対してN=[2/ε]+1ととる．[x]はガウス記号で実数x以下の最大の整数を表す：

（☆）[x]≦x<[x]+1

よって

n≧N

ならば（☆）より

n≧[2/ε]+1>2/ε

∴n>2/ε⇔2/n<ε∴2/(n+1)<2/n<ε

これと(1)より

|a[n]-1|=2/(n+1)<ε

また，(1)より

|a[n]-1|=2/(n+1)>0

こうして

0<|a[n]-1|<ε

となります．ここでεは任意だったから

lim[n→∞]a[n]=1

となります．