limと連続する小数について

質問

1=0.9999・・・・・・
ですよね？
ならば
　　　lim n＜1
　　　n→1
であるとき、
　　　n＝0.9999・・・・・・
ですよね？
しかしこれなら
　　　n＝0.9999・・・・・・＝1
となり、
　　　　n＜1
にはならないんじゃないんですか？
矛盾してますよね？

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

「n＜１を保ったままn→1とやるんだ」ということを表すにはしばしば
n→1-0
という表現を使いますが、これはｎを{n | n<1}という集合の中から選ぶという条件を付けた上で
n→1
をやるという意味です。

さて、
「x→aのとき lim f(x)=b である」
とは
「どんな正の数εを持ってきても、それに対して正の数δを次の条件を満たすように選ぶことが出来る：
　条件：『| x-a |<δ　であるようなどんなｘについても、| f(x)-b |<ε である』」
という意味です。

「x→a-0のとき lim f(x)=b である」
とは、従って、
「どんな正の数εを持ってきても、それに対して正の数δを次の条件を満たすように選ぶことが出来る：
　条件：『a-x<δ　であるようなどんなｘについても、| f(x)-b |<ε である』」
という意味です。

「n→1-0のとき　lim n =1である」
は、たとえばδ=(ε/100)とでも選べば
「どんな正の数εを持ってきても、それに対して正の数δを次の条件を満たすように選ぶことが出来る：
　条件：『1-n<δ　であるようなどんなnについても、| n-1 |<ε である』」
を満たしますから、確かに成り立つ。

ここで注意すべき事があります。
n→1-0をやる時のnは{n | n<1}という集合の中から選んだのですから、n<1である。だけど、lim nは1である。つまり、lim n は{n | n<1}の要素ではないのです。

「n<1を保ったままnを動かした」からって、(lim n)<1とは言えない。(lim n)はnじゃないですからね。

回答No.4

march4

「収束する」とは、
「限り無く近付く」といった意味です。

■国語辞典にある程度の意味は書かれています。
↓「収束」の意味
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%BC%FD%C2%AB&kind=jn&mode=0

「nを限り無く１に近付けた時、nは１に収束します。」
ということを数学記号で書き表わすと、

　　　lim n=1
　　　 n→1

となるのですが、もっと数学的に「収束する」、「限り無く近付く」とはどういうことなのかと思われるかもしれません。
「限りなく近づく」という言葉の意味があいまいなので，もっと正確に極限を定義したいときは，ε-δ法と呼ばれる方法で定義するようです。
「ε-δ法」については、
http://shakosv.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math10.html

に記述されていて、かなり丁寧に説明されていますが、私には難しいものでした。

上記のサイトに書かれていることですが、
『・・・（中略）・・「微分積分３０講」（朝倉出版：志賀浩二著）をお読みになるといいと思います。この本は高校での微積が分からなかった方（文理問わず）、またはもうちょっと微積について知りたい高校生にちょうどいい本です。』
と、参考図書が記されています。

私が言えることはこれくらいです。
何かのお役に立てたら幸いです。

回答No.3

UKY

「収束」(「収斂」ともいう)とは、「ある値に限りなく近づく」という意味です。(ぴったりその値になる場合を含む)

例えば、「nが2に限りなく近づくとき、3nは6に収束する」などという表現をします。これは、「3nは6に限りなく近づく」という意味です。
これを式で表すと、
lim 3n = 6 (n → 2)
となります。

> その値（つまりこの場合１）に無限に近づく時、それは
> 　　　　　・
> 　　　０．９
> とはなりませんか？

nがあくまでも1に「近づく」ことを考えるのであって、1(=0.999999……)に「なる」ことを考えるわけではありません。

回答No.2

march4

---------------------------------
　　　lim n＜1
　　　　n→1
であるとき、
　　　n＝0.9999・・・・・・
---------------------------------

↑ここの記述はおかしいと思うのですが・・・。

「nを限り無く１に近付けた時、nは１に収束します。」
よって、lim n＝１　（n→１のとき）　です。
「lim n＜１　（n→１のとき）」
はすでにおかしい表現です。

１＝0.9999999・・・　かどうかですが、
x＝0.9999・・・　（★１式）とおくと、
10x＝9.9999・・・　（★２式）となります（両辺を10倍）

★２から★１をひいてみると、
9x=9.0000・・・　となります。
よって、x＝1.0000・・・　となり、
★１と見比べて、
x=0.9999・・・=1　となります。

以上です。

補足

実はまだlimはついては勉強してないんですが
”「nを限り無く１に近付けた時、nは１に収束します。」”の”収束”とはどういう意味ですか？

回答No.1

noname#24477

質問の趣旨がちょっと分からないのですが、

１より小さい数の極限値が１になることがおかしい
ということでしょうか？
極限値とは目標値みたいなもので（不正確な言い方ですが）
最終的にその値になるかどうかは別です。
とにかく近づいていく値です。

補足

１より小さい数の極限値が１になることがおかしい
ということでしょうか？ ＞
そうです。
その値（つまりこの場合１）に無限に近づく時、それは
　　　　　・
　　　０．９
とはなりませんか？