面積の問題です ア～ケまでどなたかお願いします

質問

Oを原点とする座標平面において、0≦θ≦π/2を満たす媒介変数θを用いてx=√3sinθ y=√6sin2θと表される曲線Cを考える
また曲線Cを表す関数をy=f(x)とする
(1)関数y=f(x)の定義域は ア≦x≦イ でありf'(x)=0を満たすxはただ一つである
その値をαとする時α=ウ であり f(α)=エである
　またf(√2)=オ f'(√2)=カである
(2)曲線C上の点PとOとの距離OPは、Pのx座標がキの時、最大値クをとる
(3)曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積はケである

回答No.2

info22_

C:(x,y)
x=√3 sin(θ)
y=√6 sin(2θ)
(0≦θ≦π/2)
0≦x≦√3
0≦y≦√6

(1)
y=f(x)=2√6 sinθcosθ=2√2 x√(1-(x^2)/3)
>関数y=f(x)の定義域は 0≦x≦√3 であり

y'=f'(x)=-2√(2/3)(2x^2-3)/√(3-x^2)
>f'(x)=0を満たすxはただ一つである
0≦x≦√3なので f'(x)=0を満たすxは x=√(3/2)のみ。

>その値をαとする時α=(√6)/2 であり f(α)=√6である
　またf(√2)=4(√3)/3, f'(√2)=-2(√6)/3である

(2)
x=√3 sinθ,sinθ=x/√3
y=√6 sin(2θ)=2√6 sinθcosθ
OP^2=x^2+y^2=3(sinθ)^2+24(sinθcosθ)^2
=3(sinθ)^2{1+8(cosθ)^2}=3(sinθ)^2*{9-8(sinθ)^2}
(sinθ)^2=t(0≦θ≦π/2)と 0≦t≦1
OP^2=3t(9-8t)=-24(t^2-(9/8)t)=-24{(t-(9/16))^2-(9/16)^2}
=(243/32)-24(t-(9/16))^2
t=(sinθ)^2=9/16, すなわち sinθ=3/4のとき
OPの最大値=√(81/32)=9(√6)/8　

>曲線C上の点PとOとの距離OPは、Pのx座標√3 sinθが3(√3)/4の時、
最大値9(√6)/8をとる

(3)
S=∫[0,√3] ydx=∫[0,π/2] √6 sin(2θ)*√3 cosθ dθ
=3√2 ∫[0,π/2] sin(2θ)cosθ dθ
=3(√2)/2 ∫[0,π/2] {sin(3θ)+sinθ}dθ
=3(√2)/2 [-(1/3)cos(3θ)-cosθ][0,π/2]
=3(√2)/2 [(1/3)+1]
=2√2
>曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積は 2√2 である

以上からア～ケまでを拾い出してください。

回答No.1

muturajcp

(1)
0≦θ≦π/2
0≦sinθ≦1
0≦√3sinθ≦√3
だから
関数y=f(x)の定義域は
0≦x≦√3
であり
f'(x)=y'(θ)/(x'(θ))=0
y'(θ)=2√6cos(2θ)=0
0≦2θ≦π
2θ=π/2
θ=π/4
x=√3sin(π/4)=(√6)/2
y=√6
だから
f'(x)=0を満たすxはただ1つである
その値をαとするとき
α=(√6)/2
であり
f(α)=√6
である
x=√3sinθ=√2
sinθ=√2/√3
cosθ=1/√3
y=√6sin(2θ)
y=2√6sinθcosθ=2√6√2/3
y=(4√3)/3
x'(θ)=√3cosθ=1
y'(θ)=2√6cos(2θ)
=2√6{2(cosθ)^2-1}
=(-2√6)/3
f'(√2)=y'(θ)/(x'(θ))=(-2√6)/3
だから
f(√2)=(4√3)/3
f'(√2)=(-2√6)/3
である

(2)
|OP|^2=x^2+y^2
=3(sinθ)^2+6{sin(2θ)}^2
=3(sinθ)^2+6{2sinθcosθ}^2
=3(sinθ)^2+24(sinθ)^2{1-(sinθ)^2}
=27(sinθ)^2-24(sinθ)^^4
=-24{(sinθ)^4-9(sinθ)^2/8}
=243/32-24{(sinθ)^2-9/16}^2
≦243/32
|OP|≦(9√6)/8
sinθ=3/4のとき最大値(9√6)/8
x=√3sinθ=(3√3)/4
だから
曲線C上の点PとOとの距離OPは,
Pのx座標が
(3√3)/4
の時,最大値
(9√6)/8
をとる

(3)
y=√6sin(2θ)
x'(θ)=√3cosθ
∫_{0～π/2}√6sin(2θ)√3cosθdθ
=6√2∫_{0～π/2}sinθ(cosθ)^2dθ
=6√2∫_{0～1}t^2dt
=6√2[t^3/3]_{0～1}
=2√2
だから
曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積は
2√2
である