総和の最小値

質問

S(n)=｜n-1｜+｜n-2｜+…+｜n-100｜(n∈整数)の最小値とそのときのnの値を求めよ

解答を見た中で、
S(n)が最小になるのが1＜n＜100(2≦n≦99)となるのは分かるのですが、
この時S(n)=Σ[k=1からn-1](n-k)+Σ[k=n+1から100](k-n)となる理由が{(n-1)+(n-2)+…+2+1}+{1+2+…+(99-n)+(100-n)}と分解してもわかりません
また、S(n+1)-S(n)=｜n｜-｜n-100｜となるのは分かるのですが、これからnが50より大きいか同じか小さいとなる理由がわかりません
分からないところが多く申し訳ないのですが、ご教授お願いします

回答No.4

suko22

＞別解です

これも先に説明したのと同じで、
｜ｎ｜＝ｎ（ｎ≧0のとき）・・・※1
　　　＝-ｎ（ｎ＜0のとき）

｜ｎ-100｜＝ｎ-100（ｎ-100≧0のとき、すなわちｎ≧100のとき）
　　　　　＝-（ｎ-100）＝100-ｎ（ｎ-100＜0のとき、すわなちｎ＜100のとき）・・・※2

という風に絶対値が外せます。1＜ｎ＜100のときは、2つの絶対値はそれぞれ※1と※2のように外せるから、

S(n+1)-S(n)=｜n｜-｜n-100｜＝ｎ-（100+ｎ）＝2ｎ-100となり、
2ｎ-100＞0、すなわち100＞ｎ＞50のときS(n+1)＞S(n)
2ｎ-100＝0、すなわちｎ＝50のときS(n+1)＝S(n)
2ｎ-100＜0、すなわち1＜ｎ＜50のときS(n+1)＜S(n)

これからＳ（ｎ）が最小となるｎが出て、ｎが決まったらＳ（ｎ）の式に戻して計算する

お礼

よくわかりました
ありがとうございました

回答No.3

genshisyounen

（No1の方と回答内容がだぶってしまったようですが）
具体的に数値を当てはめてみれば理解しやすいのではないでしょうか。
S(n)=｜n-1｜+｜n-2｜+…+｜n-100｜
この式が具体的にどのようなものかを考えてみましょう。
例えば、n=50とします。
S(50)=49+48+47+・・・+2+1+0+1+2+3+・・・+49+50.....(1)
となります。

理由がわからないと書かれている下記の式と(1)を較べてみましょう。
S(n)=Σ[k=1からn-1](n-k)+Σ[k=n+1から100](k-n)....(2)
前半のΣ[k=1からn-1](n-k)が、(1)式の49+48+47+・・・+2+1に
後半のΣ[k=n+1から100](k-n)が、(1)式の1+2+3+・・・+49+50に
相当します。

S(n+1)-S(n)も具体的にn=70として考えてみましょう
S(71)=70+69+68+67+・・・+2+1+0+1+2+3+・・・+28+29
S(70)= 69+68+67+・・・+2+1+0+1+2+3+・・・+28+29+30
ですから、
S(71)-S(70)=｜70｜-｜70-100｜=70-30=40となることがわかるでしょう。

お礼

わかりました
ありがとうございました

回答No.2

suko22

＞S(n)が最小になるのが1＜n＜100(2≦n≦99)となるのは分かるのですが、

S(n)=｜n-1｜+｜n-2｜+…+｜n-100｜＝Σ[k=1,100]|n-k|
ｎがこの範囲のときには、絶対値がｋの値によって次のように外れます。

｜ｎ-ｋ｜＝ｎ-ｋ（ｎ-ｋ≧0、すなわちｋ≦ｎのとき）
　　　　＝-（ｎ-ｋ）＝ｋ-ｎ　（ｎ-ｋ＜0、すなわちｋ＞ｎのとき）

与式＝Σ[k=1,n](n-k)+Σ[k=n+1,100](k-n)
＝Σ[k=1,n-1](n-k)+Σ[k=n+1,100](k-n)
＝・・・後はΣの計算です。これから最小値とそのときのｎの値が求まります。

＞また、S(n+1)-S(n)=｜n｜-｜n-100｜となるのは分かるのですが、これからnが50より大きいか同じか小さいとなる理由がわかりません

これなんですか？別解？

補足

別解です

回答No.1

f272

たとえばn=50のとき
S(n)
=｜n-1｜+｜n-2｜+…+｜n-100｜
= 49 + 48 + 47 + ... + 1 + 0 + 1 + 2 + ... + 50
であって
S(n)
={(n-1)+(n-2)+…+2+1}+{1+2+…+(99-n)+(100-n)}
={49 + 48 + … + 2 + 1} + {1 + 2 + … + 49 + 50}
としてもわからない？

> S(n+1)-S(n)=｜n｜-｜n-100｜となるのは分かるのですが、これからnが50より大きいか同じか小さいとなる理由がわかりません

1＜n＜100であれば
S(n+1)-S(n) =　n-（100-n) = 100 - 2n
だから100-2nの正負で分けるのは，自然に導かれると思うのだが...

お礼

わかりました
ありがとうございました