解法を教えてください!!

質問

x^2/p^2+y^2/q^2+z^2/r^2=1の(a,b,c) における接平面、法線の方程式の求め方

∬(f±g)dxdy=∬fdxdy±∬gdxdyの証明

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の[前半]の図を追加添付します。

回答No.1

info22_

{前半}
x^2/p^2+y^2/q^2+z^2/r^2=1 ...(1)

(a,b,c)における接平面の方程式は
接平面公式より
(a/p^2)x+(b/q^2)y+(c/r^2)z=1
但し、a^2/p^2+b^2/q^2+c^2/r^2=1
となります。

次に、(1)を全微分して
2(x/p^2)dx+2(y/q^2)dy+2(z/r^2)dz=0
(x/p^2)dx+(y/q^2)dy+(z/r^2)dz=0

内積表現で表すと
　 (x/p^2,y/q^2,z/r^2)・(dx,dy,dz)=0

この式は、(dx,dy,dz)は接平面ベクトルなので、それと直交するベクトルが(x/p^2,y/q^2,z/r^2)であり法線の方向ベクトルとなる。
接点(a,b,c)における法線ベクトルは
　(a/p^2,b/q^2,c/r^2)
となる。なお、(dx,dy,dz)を(x,y,z)に置き換えれば、接平面の方程式
　(a/p^2,b/q^2,c/r^2)・(x,y,z)=(a/p^2)x+(b/q^2)y+(c/r^2)z=1
が得られる。

接点(a,b,c)を通る法線の媒介変数表示では
　(a+t(a/p^2),b+t(b/q^2),c+t(c/r^2))
また、法線の直交xy座標表現に直せは
　(x-a)(p^2)/a=(y-b)(q^2)/b=(z-c)(r^2)/c
となる。但し、a^2/p^2+b^2/q^2+c^2/r^2=1

[後半]
重積分び線形性が成り立てば自明。