解法を教えてください

質問

座標平面上に、円C: x^2+y^2=5, 点A(5,5)、および傾きがmで点Aを通る直線lがある。ただしmは定数である。
(1)点Aを中心とし、半径rである円をC1とする。CとC1が2点で交わるようなrの値の範囲を求めよ。
(2)点Pが円C上を動くとき、線分APの中点Qの軌跡の方程式を求めよ。
(3)直線lの方程式を求めよ。
(4)直線lが円Cに接するとき、mの値を求めよ。
(5)直線lが円Cによって切り取られる弦の長さが４であるとき、mの値を求めよ。

答えは
(１)5√2-√5<r5√2+5
(２)(x-5/2)^2+(y-5/2)^2=5/4
(３)mx-y-5m+5=0
(４)m=1/2, 2
(５)m=3/4, 4/3

回答No.1

akinomyoga · ベストアンサー

(1)
円C の半径は √5 で、点A (5,5) と円Cの中心 (0,0) の距離は 5√2 である。
C1の半径が r = 5√2 - √5 の時 C と C1 は互いに外接する。
C1の半径が r = 5√2 + √5 の時 C は C1 に内接する。
よって 5√2-√5 < r < 5√2+√5■

(2)
点P を (p, q) とすると、円C上にある事から、
　p^2+q^2=5　…(i)
点Q を (x, y) とすると、APの中点である事から、
　x = (p+5)/2, y = (q+5)/2,
　∴p = 2x-5, q = 2y-5　…(ii)
(i)を(ii)に代入して整理すると、
　(x-5/2)^2+(y-5/2)^2=5/4■.

(3)
y=mx を (5,5) だけ平行移動すれば良い。
　y-5 = m(x-5),　…(iii)
　∴mx-y-5m+5=0■.

(4)
(iii)と C: x^2+y^2=5 から y を消去すると、
　(m^2+1) x^2 +10m(1-m)x +25(1-m)^2 = 5.
接する時、交点は一つなので、上の二次方程式の判別式 D = 0 である。
　D/4 = (5m(1-m))^2 - (25(1-m)^2-5)(m^2+1)
　　= -10(2m^2 -5m +2) = 0.
　∴m = 1/2, 2■.

(5)
Cの中心(原点)をOとし、交点の一つをXとし弦の中点をYとする。
　∠OYX = π/2,
　XY = 弦の長さ/2 = 2,
　OX = (Cの半径) = √5
　OY = √(OX^2 - XY^2) = 1　(∵三平方の定理),
つまり、直線 l は半径1の円 C2: x^2+y^2=1 に接する。
ここで (4)と同様に、円C2 と直線l の方程式を連立して y を消去すると、
　(m^2+1) x^2 +10m(1-m)x +25(1-m)^2 = 1.
判別式 D = 0 を考えると、
　D/4 = -2(12m^2-25m+12) = 0,
　∴m = 4/3, 3/4■.

お礼

ありがとうございます。助かりました。