重力場での線素

質問

強い重力場にいる人でも、その人にとっての線素は

ds^2 = -dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2

ということで間違いないでしょうか？
ここでw,x,y,zというのはその人が強い重力場に来る前に
使っていた時間とか距離です。

回答No.7

eatern27 · ベストアンサー

長さとか時間とか、計量テンソルの値そのものだけが関係する量しか考えないのであれば、
仰るような解釈でもいいでしょうが、
物体の運動など、計量テンソルの変化や微分(重力)が関係するものを考えたいのなら、"普通"の時計や物差しで考えた時と同じという訳にはいかないでしょうね。

お礼

どうもありがとうございます！
そうですね、運動の軌跡とかを考えるとかなり都合が悪くなると思います。
あくまで、特定の場所周辺で、短距離、短時間、という条件が必要になりますね。

ながくおつき合いくださりありがとうございました。おかげで
重力場の現場の理解がひとつ深まったと思います。

本当にありがとうございました。

回答No.6

eatern27

重力を感じているのだったら、その系は局所慣性系ではありません。
クリストッフェル記号が0でない成分を持つためには、計量テンソルの１階微分がゼロ以外の値になる事が必要だからです。

補足

大変失礼しました。そうですね、局所慣性系ではないですね。

言いたかったのは重力があっても局所的に、短距離、短時間の条件で

ds^2= -dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2

がなりたつ(この状況をうっかり局所慣性系と言ってしまいました。。。)ので、

この時のw,x,y,z の意味合いは単に数学上の物というよりは
固有時と固有ながさの意味合いから、普通に持っている時計やものさしの単位をそのまま使った
座標系ではないでしょうか？

という事になります。よろしくお願いいたします。

回答No.5

eatern27

うーん、とりあえず確認。

「重力場で静止している人」が「重力場が無視できる範囲」だけを考えれば局所慣性系に見えると言うのは、その通りだと思いますが、そういう話がしたかったのですか？
だとすれば何のために「重力場で静止している人」を持ち出したのかが分からないのですが。

お礼

ごちゃごちゃ書いてしまってすみません。まとめてみます。
重力がある場合でも、任意の場所で、その場所周辺、かつ短時間で
局所慣性系を作る事ができる。この時、測地線は直線で近似される。
線素は

ds^2 = -dw^2 +dx^2 + dy^2 + dz^2

と書かれる。

この時、w,x,y,z と言う変数は、我々が普段使っている、慣性系で使っている
時計、ものさしを使ってメモリをふられた座標系ではないでしょうか？

という事です。よろしくお願いします。

補足

説明が下手ですみません。。。
私は重力場でも「自由落下で重力を消した人」の局所慣性系はなるほど慣性系だと思いますが、
重力場で重力をまさに感じている人が、もの凄い重力を感じたまま「局所慣性系」を作れるという話に
とても違和感があったのです。そのため、局所慣性系と言うのは「自由落下」を前提にした話ではないかと
思うようになってしまいました。ですのでついつい「重力場で静止している人」と強調したくなっちゃいました。

しかし、重力を感じているのに ds^2 = -dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 とはどいういうことなのか、
この式で使うw,x,y,zは一体なんなのか？　都合の良い、数学でつじつま合わせただけの座標系で、
物理的には奇怪な座標系なのか、全くわかりませんでした。

しかしたどり着いたのが、この w , x ,y ,z という変数は、重力場に来る前に、慣性系で普通に使っていた
時計、ものさしを、そのまま一緒に重力場に持ってきて、それを座標系の基準（メモリの基準。秒とかメートルとかの基準を
持ってきた時計とものさしにした）にしたのではないかと思うようになりました。
が、いまひとつ確信が持てないので質問させていただいてます。

よろしくお願い致します。

回答No.4

eatern27

重力を無視する近似で構わないのなら、観測者の近傍で
ds^2 = -dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2
として良いでしょうが、重力の事を考えたいのなら計量テンソルが位置に依存していると考えなければいけません。一般相対論の枠組みでは計量テンソルが定数であるのなら重力が一切出てこないからです。

#3へのお礼について
仰る議論は要するに、加速度が無視できるという事を仰っているのだろうと思います。
例えば、磁場中の荷電粒子のサイクロトロン半径を知りたい時など、速度しか関係しないものを考えるのなら速度の変化を無視していい事もあると思います。
しかし、例えば、運動方程式を見てやると粒子の加速度は力と密接な関係にありますので、速度の変化(加速度)はいつでも無視できる訳ではありません。(加速度を無視すると、力を無視しなければいけませんので、力を受けて運動する物体の運動を一切扱えなくなります)

#3への補足の物差しが曲がっている云々については、
例えば、2本の「まっすぐ」であるはずの物差しの始点と終点を重ねた時に、物差しの間に隙間ができる事は決してないと言えるのですか？(隙間ができる場合があるかどうかはきちんと考えてはいませんが)

補足

お付き合いくださり、ありがとうございます。

ものさしも、そんなに長い物ではなくて、とても短いものさしを想定します。
長いものさしならおっしゃる通りの隙間ができるかもしれないですが、
重力が強ければその分だけものさしも短くしてしまって、物差の全域で計量の値は一定とみなせるほど
短くしてしまいます。

重力場で静止している人が、例えばその人の周囲１メートル以内で、微小時間、微小距離を考えたときに

ds^2 = -dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2

が成り立つと言うのはそういう座標変換がありえるということで理解しました。この式がなりたつのは
そういう条件が必ずつくと言う事ですね。
そしてこれが成り立つ範囲で、ものさしが使われるとします。
加速度の無視の話は、これがなりたつ範囲では計量はローレンツ計量なので、測地線は直線になるはずなので
物体の運動は直線で近似されるはずだと思ったからです。

一般相対論でも固有時とは物体に取り付けた時計であると定義されていると思います。
すると、固有時は dx = dy = dz = 0とすれば得られますので

ds^2 = -dτ^2 = - dw^2

となります。結局、 w = τ 、つまり重力場の人が普通に手に持っている時計の進みが w であると
思われます。

さて、ここで慣性系を一旦考えて、1メートルの棒を用意したとします。それを10[cm]のものさしで
測って1メートルだと分かるとします。

この棒とものさしをそのまま重力場にもってきますと、どちらも同じ割合だけ縮んでしまい、
ものさし対棒は 1対10 のままです。つまり、ものさしで測る限り、棒の長さは１メートルのままです。

一方、ds^2 の値を求めるため、この棒の近くから自由落下をして局所慣性系に移った別の人がいるとします。
局所慣性系の人がこの棒を測定すれば、それは１メートルのはずです。（自由落下した瞬間を考えれば、まだ速度は０のままです）

すると、局所慣性系(変数をW,X,Y,Zとします)の人の観測で、

ds^2 = -dW^2 + dX^2 +dY^2 + dZ^2

ですが、長さの測定でdW=0 になりますから、

ds^2 = dX^2 + dY^2 + dZ^2 = 1 [メートル^2]

となります。こうして ds^2 の値が求まりました。これを、先ほどの重力場の人の立場に戻りますと、

ds^2 = 1 [メートル^2] = dx^2 + dy^2 + dz^2

ですが、これこそまさに重力場の人が手にしているものさしで測った長さそのものです。
つまり、x,y,z という変数は手にしたものさしを基準に、w は手にした時計で作られた座標系であると言えます。

長文失礼しました。書き方がマズくて不明な箇所があるかもしれません。
お付き合いくだされば幸いです。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

eatern27

静的な宇宙で静止している観測者のいる地点での計量テンソルを適当な座標変換でローレンツ計量にする事そのものは可能だと思いますが、
観測者の近傍に限ってもミンコフスキー空間と近似する事はできないはずです。

あと、時計と物差しで座標系を描くという話については、
物差しが"まっすぐ"であるかどうかをどう確かめるのか
物差しを移動・回転等させた時に物差しが変形する可能性がある
と言った点などから、一般には上手くいかないのではない気がしています。あまりきちんと考えてはいないので、参考程度ということで。

お礼

色々考えて、やはり重力場で静止している人は

ds^2 = - dw^2 + dx^2

と言えるのではないか？と思えてきました。このときローレンツ計量ですが、
ここで測地線はただの直線になってしまいます。
しかし、重力の効果で軌道は
1/2 gt^2 + vt

だとしますと、t がとても小さい時、
ここで、t から t+dt までの差を考えますと、
g/2 (t+dt)^2 - g/2 t^2 + v dt = g t dt + v dt = (g t + v) dt

と書けます。dt に比例していて、この微小時間内では等速運動と見なせる事もできそうです。
すると重力場で静止している人にとって、その現場で、微小時間微小距離に限って、

ds^2 = - dw^2 + dx^2

と言えるのではないでしょうか？　

お時間がもしありましたら、よろしくお願いいたします。

補足

ありがとうございます。
ローレンツ計量にする事ができるとのことですが、
そうしますと重力場で静止した人は

ds^2 = - dw^2 + dx^2

のような座標系をたてられるということでしょうか？
自分でもよくわかなくなるのが、自由落下をして局所慣性系にある人は
重力を座標系が打ち消していて、当然局所的に

ds^2 = - dw'^2 + dx'^2

が成り立ちますので、重力場の人が同じ式を立てるのはおかしい、または
それだけ座標系の作り方が柔軟だと言う事なのでしょうか。

ものさしを重力場に持って行くと曲がってしまうと思いますが、その現場にいる人は
いっしょに曲がってしまっているので、ものさしが曲がっていると気がつかないような
気がしますがどうなんでしょう。。。

また、線素にこだわるのはよくなくて、重力場の現場で観測するのは固有時であり固有長さである
ということを重視した方がよいのでしょうか？

回答No.2

eatern27

一般相対論においては
適当な座標変換で局所的には重力の効果を消せる(特殊相対論が成り立つ)、すなわち、
任意の世界点に対してある座標系が存在して計量テンソルがローレンツ計量で、全ての一階微分を0にする事ができるという事が要請されています(等価の原理)。

特に線素は適当な座標変換で局所的には(考えている１点では)
ds^2 = -dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2
という形にできるという事です。

「その人が強い重力場に来る前に使っていた時間とか距離」を重力がある時にどのように定義するのかなど、良く分からない点が多々あるので、どういう回答を期待しているのか分からないのですが、これで回答になっているでしょうか。

補足

ありがとうございます。
それは局所慣性系への座標変換という意味になりますでしょうか？
たしかに自由落下へ移行すると確かに重力を消せます。

でも私が伺いたいのはこういった自由落下はしなくて、本当に重力場で重力を感じつつ、
その人が自然な座標系を用いたときに

ds^2 = -dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2

になるのではないでしょうか？ということなのです。。。
どういうことかと言いますと、重力場の人が感じる時間は固有時で、
見る物体の長さは固有長さになる、という具合に理解しています。
固有時とは言ってみれば自分が持っている時計ですし、
固有長さとは慣性系での「正しい」長さのことだと思います。

時間の方は単に時計を身につけているとします。
そして長さの方ですが、単にものさしを持っているとします。

この人が強い重力場に行って静止します。
しかし、持っていた時計と持っていたものさしでもって座標系を描いた場合、
その人の近傍では

ds^2 = -dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2

が言えるのではないでしょうか？ということなのですが、伝わりますでしょうか。。。
よろしくお願い致します。

回答No.1

ereserve67

w=ct(cは光速）ですよね．

表記の線素はMinkowski時空，つまり重力場の無い平らな時空を表します．つまり，特殊相対性理論を表すものです．

一般に，重力場があれば，相対論的重力場の理論（一般相対性理論）における線素になり，

ds^2=g_{ik}(x)dx_idx_k

となります．g_{ik}(x)が定数計量ではなくなり，一般にxの関数になります．これは物理的には重力ポテンシャルとよばれ，それは時空のエネルギー運動量分布や流れで決定されるものです．それを規定しているのが有名なEinstein方程式です．

さて質問者様のいう強い重力場は，大きな質量をもつ天体による真の重力場なのか，例えば等加速度運動をしているロケットの中の見かけの重力場なのでしょうか．いずれも表記のような線素になることはありません．球対称な静的な天体のつくる重力場なら，有名なSchwarzschild計量

（★）ds^2=-(1-a/r)c^2dt^2+(1-a/r)^{-1}dr^2+r^2(dθ^2+sin^2θdφ^2)

a=2GM/c^2

となり，等加速度運動による重力場なら

（☆）ds^2=-(1+ax)^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2

のようになります．

つまり，天体などの真の重力場がある時空でも，もともとMinkowski時空であって座標変換によって生じた見かけの重力場がある時空でも，重力場を感じる人にとっての線素は，表記のような線素ではなく，★や☆のような線素になります．

補足

ご丁寧にありがとうございます。
ちょっと質問の仕方が悪かったかもしれません（汗）
色々調べてみますと、重力場の人でも固有時とか固有長さを「見る」ようなのです。

（★）ds^2=-(1-a/r)c^2dt^2+(1-a/r)^{-1}dr^2+r^2(dθ^2+sin^2θdφ^2)

固有時を調べるにはdr=0とかにすればいいですので

ds^2 = -dτ^2 = -(1-a/r)c^2 dt^2

となります。この固有時τで、重力場の人は時間を感じる？のだと思います。
同じように固有長さも

ds^2 = dσ^2 = (1-a/r)^{-1}dr^2+r^2(dθ^2+sin^2θdφ^2)

のようなのです。重力場の人はこの長さを見る？のだと思います。
そうだとすれば、重力場の人って結局

ds^2 = -dw_重力場^2 + dx_重力場^2 + dy_重力場^2 + dz_重力場^2

自分がいる周辺だけですが、このような線素の表記になるのではないかと、
そう思い質問させていただきました。

よろしくお願いいたします。