ベッセルの方程式の問題の解き方が分かりません

質問

次のベッセルの方程式の問題の解き方が分かりません。
　数学に詳しい方、よろしければご教示願えないでしょうか。

問題は、
　ベッセルの方程式に帰着できるさまざまな方程式がある。示されている置換を
使って、次の微分方程式の一般解を求めよ。
4*x^2*y" + 4*x*y' + (x - ν^2)*y = 0 (√x = z)

　このように解いてみました。
　ベッセルの微分方程式は、
x^2*y" + x*y' + (x^2 - ν^2)*y = 0
で、
　一般解は、
y(x) = A*Jν(x) + B*Yν(x)
ここで、A と Bは任意定数、Jν(x)は第1種ベッセル関数、Yν(x)は第2種ベッセル
関数。

√x = z
より、
dz/dx = 1 / (2*√x)

y'とy"は、
y' = dy/dx = (dy/dz)*(dz/dx)
= (dy/dz)/(2*√x)
y" = d^2y/dx^2 = (d/dx)*(dy/dx)
= (d/dz)/(2*√x)*(dy/dz)/(2*√x)
= (d^2y/dz^2)/(4*x)

ゆえに、
4*x^2*y" + 4*x*y' + (x - ν^2)*y
= 4*x^2*(d^2y/dz^2)/(4*x)
+ 4*x*(dy/dz)/(2*√x)
+ (x - ν^2)*y
= x*(d^2y/dz^2) + 2*√x*(dy/dz) + (x - ν^2)*y
= z^2*(d^2y/dz^2) + 2*z*(dy/dz) + (z^2 - ν^2)*y = 0

となって、第 2項目が z*(dy/dz) にならず、2*z*(dy/dz) になってしまいます。

　本の回答をみると、
A*Jν(√x) + B*Yν(√x)
となっているので、問題の微分方程式を、
z^2*(d^2y/dz^2) + z*(dy/dz) + (z^2 - ν^2)*y = 0
に変形したのだと思いますが、どのようにすれば良いのでしょうか ?

　同様に下記の問題も、
x^2*y" + x*y' + 4*(x^4 - ν^2)*y = 0 (x^2 = z)

同じ解き方をしたため、
z^2*(d^2y/dz^2) + z*(dy/dz) + (z^2 - ν^2)*y = 0
に変形できませんでした。

　なにとぞよろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

y" = d^2y/dx^2 = (d/dx)*(dy/dx)
= (d/dz)/(2*√x)*(dy/dz)/(2*√x)
= (d^2y/dz^2)/(4*x)
これが嘘ですね。実際には
y" = d^2y/dx^2 = (d/dx)*(dy/dx) = (d/dx)*((dy/dz)/(2*√x))
= (d/dx)*(dy/dz) /(2√x) + (dy/dz) (d/dx)*(1/(2√x))
= (d/dz)*(dy/dz) /(4x) + (dy/dz) *(-1/(4x√x))
従って
4*x^2*y" + 4*x*y' + (x - ν^2)*y
= x*(d^2y/dz^2) - √x*(dy/dz) + 2√x*(dy/dz) + (x - ν^2)*y
= x*(d^2y/dz^2) + √x*(dy/dz) + (x - ν^2)*y
= z^2*(d^2y/dz^2) + z*(dy/dz) + (z^2 - ν^2)*y = 0

お礼

回答ありがとうございます。
　y"の計算が誤っているとは気が付きませんでした。

　周りに聞ける人がいないので、助かりました。