曲率が負のときの線素

質問

宇宙論を勉強していてわからないことがあったので質問です
ユークリッド空間で線素は
ds^2=dx^2+dy^2+dz^2・・・（１）
で表されますが、負の曲率の場合線素は
ds^2=dx^2+dy^2-dz^2
と、dzの前の符号が-になって（１）と違うんですが
なぜdzの前の符号だけマイナスになるんでしょうか？
調べ方が悪いようで、なんでこうなるのか説明されてるものが見つからなく
困っているのでご教授お願いします

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

双曲面上で普通の(ユークリッド空間の意味での)距離を考えたいのなら、
ds^2=dx^2+dy^2+dz^2
とすれば良いのですが、今はそういう事を考えているのではないんです。

３次元ユークリッド空間上の球には特別な点がありませんよね。
だから、球面上の２点間の距離を、３次元ユークリッド空間における距離に基づいて定義してやるだけで、２次元で一様等方的なモデルが出来上がるんです。

でも、双曲面(x^2+y^2-z^2=-R^2)の場合には、
例えば原点(0,0,0)からの距離(これは３次元ユークリッド空間でいう距離です)が最小である点(0,0,R)のような特別な点が存在します。双曲面上の２点間の距離を３次元ユークリッド空間における距離に基づいて定義してしまったら(ds^2=dx^2+dy^2+dz^2としてしまったら)、(0,0,R)が特別な点として振る舞ってしまうはずで一様等方的なものにはなってくれないのです。
でも、ds^2=dx^2+dy^2-dz^2としたら、一様等方的なものになるんです。

天下り的な説明ですが、
x^2+y^2+z^2=R^2
において、形式的にx→ix,y→iyという風にx,yを純虚数だと思う事にしてやれば、
双曲線の方程式x^2+y^2-z^2=-R^2が得られますよね。
球面上ではds^2=dx^2+dy^2+dz^2とした時に、一様等方的なモデルが出来上がりましたので同じようにx,yを純虚数だと思ってds^2=-dx^2-dy^2+dz^2としてやると、双曲面上で一様等方的なモデルが出来上がるのです。
※ds^2=-dx^2-dy^2+dz^2にするかds^2=dx^2+dy^2-dz^2にするかは定義の問題で、本質的な違いは何もありません。

お礼

回答ありがとうございます。
しかし、宇宙論は非ユークリッド空間の話とか出てきて想像以上に大変なので心が折れそうです・・・。

回答No.1

eatern27

ん～、曲率が負であるからと言って
>ds^2=dx^2+dy^2-dz^2
とはならないような。どういう文脈の話なのでしょうか。

補足

言葉足らずですいません。
ロバートソン・ウォーカー計量を求めるための前段階としての話です
例えば
http://www.mns.kyutech.ac.jp/~kamada/generalrel.htm
の２）で
ds^2=dx^2+dy^2-dz^2
となってますがこうなる理由が書いてないのでよくわからないのです。