空間ベクトル

質問

空間の4点A（1，2，3） B（2，3，1） C（3，1，2） D（1，1，1）に対し、2点A、Bを通る直線をL、2点C、Dを通る直線をmとする。
（1）L、mのベクトル方程式を求めよ。
（2）Lとmは交わらないことを示せ。
（3）Lとmのどちらにも直行する直線をnとするとき、Lとnの交点Eの座標およびmとnの交点Fの座標を求めよ。
よろしくお願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

ベクトル記号は省略させていただきます。
(1)
L上の点Pを実数sで表すと
OP = (1-s) OA + s OB = (1+s , 2+s , 3-2s)
m上の点Qを実数tで表すと
OQ = (1-t) OC + t OD = (3-2t , 1 , 2-t)
これがそのまま各直線のベクトル方程式も表す。
(2)
2点P,Qが一致したと仮定すると
1+s=3-2t , 2+s=1 , 3-2s=2-t
が同時に成立することになるが、この三個の等式を同時に成立されるs,tは存在しない。
よってLとmは交点をもたない。
(3)
PQ = OQ - OP = (2-s-2t , -1-s , -1+2s-t)
AB = OB - OA = (1 , 1 , -2)
CD = OD - OC = (-2 , 0 , -1)
PQ ⊥ L とすると PQ・AB = 0 より 3-6s = 0 s= 1/2
PQ ⊥ m とすると PQ・CD = 0 より -3+5t = 0 t = 3/5
よって P(3/2 , 5/2 , 2) これがE
また、Q(9/5 , 1 , 7/5) これがF

…でいかがでしょうか。

お礼

ありがとうございます。