積分計算です

質問

∫√(x'2－1)dx
過程を含め詳しく教えてください。

回答No.5

ereserve67

ANo.1です。補足。

※1．ANo.1の回答中下から5行目あたり．

>=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)log{(x-√(x^2-1))/(-x-√(x^2-1))}

最後尾の部分が消えていました。補うと以下のようです。

=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)log{(x-√(x^2-1))/{(-x-√(x^2-1))(x-√(x^2-1))}}

※２．最終結果の(答)のチェック．

∫√(x^2-1)dx

=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)log|x-√(x^2-1)|

については右辺を微分してみると正しいことがわかります。

(1/2){x√(x^2-1)+log|x-√(x^2-1)|}'

=(1/2){√(x^2-1)+xx/√(x^2-1)+(x-√(x^2-1))'/(x-√(x^2-1))}

=(1/2){(2x^2-1)/√(x^2-1)+(√(x^2-1)-x)/(√(x^2-1)(x-√(x^2-1))}

=(1/2){(2x^2-1)/√(x^2-1)-1/√(x^2-1)}

=(1/2)(2x^2-2)/√(x^2-1)

=(x^2-1)/√(x^2-1)

=√(x^2-1)

※3．三角関数の置換ではなく，双曲線関数の置換でもできます．x≧1のとき，x=cosh(t)(t≧0)とおくと，

√(x^2-1)=√(cosh^2(t)-1)=√(sinh^2(t))=sinh(t)

dx=sinh(t)dt

∫√(x^2-1)dx

=∫sinh^2(t)dt

=(1/4)∫(e^{2t}-2+e^{-2t})dt

=(1/4){e^{2t}/2-2t+e^{-2t}/(-2)}

=(1/4){(e^{2t}-e^{-2t})/2-2t}

={(e^t+e^{-t})/2}{(e^t-e^{-t})/2}/2-t/2

=cosh(t)sinh(t)/2-t/2

=x√(x^2-1)/2-t/2

ここで，x=(e^t+e^{-t})/2より

2x=e^t+e^{-t}

(e^t)^2-2xe^t+1=0

e^t=x±√(x^2-1)

ここで

{x+√(x^2-1)}{x-√(x^2-1)}=1

かつx≧1であるから

x+√(x^2-1)≧x-√(x^2-1)(>0)

t≧0よりe^t≧1であるから，

e^t=x+√(x^2-1)=1/{x-√(x^2-1)}

t=-log(x-√(x^2-1))

ゆえに

∫√(x^2-1)dx=(1/2){x√(x^2-1)+log(x-√(x^2-1))}(x≧1)

x≦-1のときx=-yとおくとy≧1であるから上の結果より

∫√(x^2-1)dx

=-∫√(y^2-1)dy

=-(1/2){y√(y^2-1)+log(y-√(y^2-1))}

=(1/2){x√(x^2-1)-log(-x-√(x^2-1))}

=(1/2){x√(x^2-1)+log(-x+√(x^2-1))}

したがってx≦-1または1≦xのとき

∫√(x^2-1)dx=(1/2){x√(x^2-1)+log|x-√(x^2-1)|}

回答No.4

info22_

#2,#3です。

A#2の積分結果
>I=(1/2)x√(x^2-1)-(1/2)ln(|x|+√(x^2-1))+C (x≧1)
>I=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln(|x|+√(x^2-1))+C (x≦-1)
を１つの式にまとめると

I=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln|x-√(x^2-1)|+C (Cは積分定数) (|x|≧1)　...(※)
と書く事もできます。

この場合の式の変形
x≧1の場合の式
I=(1/2)x√(x^2-1)-(1/2)ln(x+√(x^2-1))+C
=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln{1/(x+√(x^2-1))}+C
=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln{(x-√(x^2-1))/(x^2-(x^2-1))}+C
=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln(x-√(x^2-1)) +C
=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln|x-√(x^2-1)| +C ...(◇)
x≦-1の場合の式
I=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln(-x+√(x^2-1))+C
=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln|-x+√(x^2-1)|+C
=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln|x-√(x^2-1)| +C ...(▲)

これで(◇)と(▲)の式が同じになりましたので
2通りの場合の条件（x≧1,x≦-1）を定義域の|x|≧1にまとめることができ、
積分結果の式も(※)の１つの式にまとめることが出来るというわけです。
I=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln|x-√(x^2-1)|+C (Cは積分定数) (|x|≧1)　...(※)

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A#2,A#3共通の訂正
x≦-1の場合の I=... の式に書写しミスが見つかりましたので訂正します。

誤：I=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln(|x|+√(x^2-1)-x)+C (x≦-1)
正：I=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln(|x|+√(x^2-1))+C (x≦-1)
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回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足です。

A#2の最後の積分結果で、被積分関数の定義域は√内≧0ですから
|x|≧1ですが、この定義域のxの範囲の正の方のx≧1とxの方のx≦-1で場合分けした
積分結果になっています。積分定数Cを除いた積分結果の２つの式は原点対称の式になっています。２つ併せて奇関数を構成していると見ることもできます。被積分関数√(x^2-1)がy軸対称であることから、当然といえば当然でしょう。

積分結果はxの正、負の範囲で場合分けした
>I=(1/2)x√(x^2-1)-(1/2)ln(|x|+√(x^2-1))+C (x≧1)
>I=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln(|x|+√(x^2-1)-x)+C (x≦-1)

となっていますが、この積分結果を微分すれば、両方とも
積分の被積分関数　√(x^2-1)　に戻りますから、
正しい積分結果であると確認できています。

回答No.2

info22_

I=∫√(x^2-1)dx
部分積分して
=x√(x^2-1)-∫x(√(x^2-1))'dx
=x√(x^2-1)-∫x(x/√(x^2-1))dx
=x√(x^2-1)-∫(x^2)/√(x^2-1)dx
=x√(x^2-1)-∫(x^2-1+1)/√(x^2-1)dx
=x√(x^2-1)-∫(x^2-1)/√(x^2-1) dx-∫1/√(x^2-1)dx
=x√(x^2-1)-∫√(x^2-1) dx-∫1/√(x^2-1)dx
=x√(x^2-1)-I-∫1/√(x^2-1)dx
Iを移項して
2I=x√(x^2-1)-∫1/√(x^2-1)dx
I=(1/2)x√(x^2-1)-(1/2)∫1/√(x^2-1)dx
ここで x=cosh(t)(|x|≧1,|t|≧cosh^-1(1))とおくと
1/√(x^2-1)dx=sinh(t)dt/√{cosh^2(t)-1}=sinh(t)dt/|sinh(t)|
=dt(t>cosh^-1(1)), =-1(t<-cosh^-1(1))
∫1/√(x^2-1)dx
=∫dt=t-2C=cosh^-1(x) -2C (x≧1)
=∫(-1)dt=-t-2C=-cosh^-1(x)-2C (x≦-1)
I=(1/2)x√(x^2-1)-(1/2)cosh^-1(x)+C (x≧1)
=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)cosh^-1(x)+C (x≦-1)

また公式
cosh^-1(x)=ln(|x|+√(x^2-1)) (|x|≧1)
を使えば

I=(1/2)x√(x^2-1)-(1/2)ln(|x|+√(x^2-1))+C (x≧1)
I=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)ln(|x|+√(x^2-1)-x)+C (x≦-1)

と変形できます。

回答No.1

ereserve67

x≧1のときを考える．

x=1/cos(t)(0≦t<π/2)

とおける．このとき，

√(x^2-1)

=√{(1/cos(t))^2-1}

=√{(1-cos^2(t))/cos^2(t)}

=√{sin^2(t)/cos^2(t)}

=sin(t)/cos(t)

=tan(t)

また

dx={-1/cos^2(t)}(-sin(t))dt

=dtsin(t)/cos^2(t)

=dttan(t)/cos(t)

よって

∫√(x^2-1)dx

=∫tan(t){tan(t)/cos(t)}dt=∫{tan^2(t)/cos(t)}dt

=∫{sin^2(t)/cos^3(t)}dt

=∫{sin^2(t)/cos^4(t)}cos(t)dt

s=sin(t)とおくと，

∫√(x^2-1)dx

=∫s^2/(1-s^2)^2ds

=∫{s/(1-s^2)}^2ds

=∫[(1/2){(1+s)-(1-s)}/{(1-s)(1+s)}]^2ds

=∫[(1/2){1/(1-s)-1/(1+s)}]^2ds

=(1/4)∫{1/(1-s)^2-2/{(1+s)(1-s)+1/(1+s)^2}ds

=(1/4)∫{1/(1-s)^2-{(1+s)+(1-s)}/{(1+s)(1-s)}+1/(1+s)^2}ds

=(1/4)∫{1/(1-s)^2-{1/(1-s)+1/(1+s)}+1/(1+s)^2}ds

=(1/4)[1/(1-s)+log(1-s)-log(1+s)}-1/(1+s)]

=(1/4)[1/(1-s)-1/(1+s)]+(1/4)log{(1-s)/(1+s)}

=(1/2)s/(1-s^2)+(1/4)log{(1-s)/(1+s)}

積分定数は省略（以下同様）．

∫√(x^2-1)dx

=(1/2)sin(t)/cos^2(t)+(1/4)log{(1-sin(t))/(1+sin(t))}

=(1/2)√(1-1/x^2)x^2+(1/4)log{(1-√(1-1/x^2))/(1+√(1-1/x^2))}

=(1/2)x√(x^2-1)+(1/4)log{(x-√(x^2-1))/(x+√(x^2-1))}

=(1/2)x√(x^2-1)+(1/4)log{(x-√(x^2-1))^2/(x^2-(x^2-1))}

=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)log(x-√(x^2-1))

x≦-1のときはy=-xとおくとy≧1であるから

∫√(x^2-1)dx=∫√((-y)^2-1)d(-y)

=-∫√(y^2-1)dy

=-(1/2)y√(y^2-1)-(1/2)log(y-√(y^2-1))

=(1/2)x√(x^2-1)-(1/2)log(-x-√(x^2-1))

=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)log{1/(-x-√(x^2-1))}

=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)log{(x-√(x^2-1))/(-x-√(x^2-1))}

=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)log(-x+√(x^2-1))

いずれにしても

∫√(x^2-1)dx

=(1/2)x√(x^2-1)+(1/2)log|x-√(x^2-1)|（答）

(答)