数IIの教科書の恒等式の問題

質問

等式 ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'　がxについての恒等式であるための必要十分条件は、
a=a' b=b' c=c'　であることを示せ。

という問題なのですが、答えがついてなく、独学なので、すみませんが教えてください＞＜

回答No.12

alice_44

むしろ、A No.1 の書きかたのほうが、
簡潔で話のスジが見えやすいと思うがなあ…
A No.5 でも、内容は同じではあるが。

回答No.11

ereserve67

ANo.1です．タイプミスがありました．申し訳ありません．

>ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'　がxについての恒等式
>⇔(a-a')x^2+(b-b')x+(c-c')=0ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'　がxについての恒等式
>だから

この2行目の「ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'　」は削除して下さい．消し忘れでした．

ANo.5でもわかりにくかったですかね．それではもう一度試みます．

（☆）ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'がxについての恒等式（どんなxに対しても成り立つのが恒等式）

であるための必要十分条件は

（★）a=a',b=b',c=c'

である．

（証）

（必要性）「☆ならば★である」を示します．

☆が成り立つから，

※ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'

は，例えばx=0,1,-1でも成り立つはずです．（恒等式の意味．どんなxでも成り立つなら，x=0,1,-1でも成り立つはず）

x=0とすると※はa0^2+b0+c=a'0^2+b'0+c'

c=c'(i)

よって※は

※2 ax^2+bx=a'x^2+b'x

となります．次にx=1とすると※2は

(1)a+b=a'+b'

さらにx=-1とすると※2は

(2)a-b=a'-b'

(1)+(2)より2a=2a'

∴a=a'(ii)

(1)-(2)より2b=2b'

∴b=b'(iii)

(i),(ii),(iii)より★が成り立ちます．

（十分性）「★ならば☆である」を示します．

★が成り立つならば☆は

ax^2+bx+c=ax^2+bx+cがxについての恒等式

は明らかに正しいです．（左右が全く同じ式だから）

こうして，

『等式 ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'　がxについての恒等式であるための必要十分条件は、
a=a' b=b' c=c'　である』

が証明されました．（終）

これでどうでしょう．

お礼

返信遅くなってしまいました…
とってもわかりやすかったです！
ありがとうございました。

回答No.10

178-tall

テスト答案向けの場合、分野不明の場合など、筋書きの選択が困難ですね。
「テスト」でさえなければ、「n 次 (以下) の x - 多項式は n 次元ベクトル空間」と書き出して、サッサと片付くのでしょうが…。

「数II」はよく知りません。
けど、#5 さんの記述が適切なのでは？

回答No.9

alice_44

確かに、p,q,r を m,n,k に変えたところが違うな。

回答No.8

mister_moonlight

＃7は馬鹿としか言いようがない。

お前は、発言するな。自分で解けないくせに、アホな評論ばかり、どこの3流大学の出身だ。。。。。ｗ

補足

私にはシマウマに見えます

回答No.7

alice_44

結局、A No.6 は、A No.1 と全く同じに見える。

回答No.6

mister_moonlight

係数比較法でも良いが、数値代入法でやろう。

全て、左辺に集める。
（a-a´）x^2＋（b-b´）x＋（c-c´）＝0　となるが　簡単のため　a-a´＝m、b-b´＝n、c-c´＝kとする。
その上で　mx＾2+nx+k＝0が　xについての恒等式であるための必要十分条件は　m＝n＝k＝0　であることを示す。

mx＾2+nx+k＝0が任意の実数xについて成立するからx＝0、1、-1　についても成立する。
従って、k＝m+n+k＝m-n+k＝0　だから 連立すると　m＝n＝k＝0。←　これが必要条件。
しかし、これは高々3つの値に対して成立したに過ぎない。
全ての実数xについて成立する事を示さなければならない。
ところが、mx＾2+nx+k＝0　において　m＝n＝k＝0ならば　0＋0＋0＝0　だから　全ての実数xについて常に0になる。
従って、十分条件でもある事が示された。

よって、題意を満たすのは　m＝n＝k＝0　つまり　a=a' b=b' c=c'　が必要十分条件である。

お礼

ありがとうございます！
初心者なのでわかりやすくて助かります！

回答No.5

ereserve67

不十分な回答と指摘されたのでもう一度回答します．後半部分です．

『px^2+qx+r=0がxについての恒等式⇔p=q=r=0』

（証明）
（←）

・p=q=r=0

ならばpx^2+qx+r=0は

0x^2+0x+0=0

となる．これはどんなxについても成り立つから，

・px^2+qx+r=0はxの恒等式．

（→）

・px^2+qx+r=0がxの恒等式

ならば，特にx=0,±1としても成り立つはずである．

x=0とするとr=0
x=1とするとp+q+r=0
x=-1とするとp-q+r=0

第1式を第2,3式に代入して

p+q=0
p-q=0

よってp=q=0．

・p=q=r=0

（終）

補足

何度も失礼します　

『px^2+qx+r=0がxについての恒等式⇔p=q=r=0』
で、
どうして０をもってくるんですか？

回答No.4

mister_moonlight

＞ （←）明らかって書いてあるようだよ。

仮に明らかでも、答案には書かなければならない事がある。特に“初心者”には　丁寧に教えなければならない。
答案は、採点者が字面から判断するもの、誤解されるような事は慎むべき。

回答No.3

alice_44

＞ （←）明らか
って書いてあるようだよ。
実際、∀x,0x^2+0x+0=0 は自明だと思う。