エジプトの分数問題が解けたように思えるのですが。

質問

エジプトの分数問題が解けたように思えるのですが。
4/n=1/a+1/b+1/cとすると4/(2^n・3^n-1)の形にできる数は解くことが出来ると一般にわかっているのですが2^n・3^m-1＝p(ｐは素数)とすると、ｐは必ず解ける集合CS(n、m)に含まれることは解っていません。

　　　　　　OOOOOO　　　　　　　　　　　？
　　　　　　　　　　　　↑　　　　　　　　　　↑　
　　　　　　　　　　　２ｑ　　　　　　　　　2q+1
　2^n・3^m-1の形に解ける集合CS　　　2q+1はCS(n,m)集合に含まれるかどうかはまだ解らない

　まずはｐは解かれていない最小の素数とします。また、ｐ以下の素数はもう解かれていて2^h・3＾k-1の形になることが解っているとします。
　　　　　ｐ＝2q+1＝2^h・3^k-1
　　　　　2q＝2^h・3^k-2
　　　　　ｑ＝{2^(h-1)}・{3^k}-1
　　　q<ｐですのでCS(n,m)に含まれます。
　CS(n,m)集合に含まれているということはｑはh、kのある自然数によって表現可能です。ということは、p=2q+1=2^h・3^h-1という形の素数にはh、kは必ず存在します。ですのでｐも2q+1も解くことができます。
　あとは解くことができるかどうかわからない最小の素数をｐとおいて、数学的帰納法を用いればすべての素数を解くことができます。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

「4/n=1/a+1/b+1/cとするとn=(2^h・3^k-1)の形にできる数は解くことが出来ると
一般にわかっている」
といっておきながら
「2^h・3^k-1=p(pは素数)とすると、pは必ず解ける集合CS(h、k)に含まれることは解っていません。」
といっているのは矛盾している。
自然数h,kに対して
n=2^h・3^k-1の形にできる任意の自然数nに対して
4/n=1/a+1/b+1/c
となる自然数a,b,cが存在するならば、
任意の自然数nに対して成り立つ命題は(素数は自然数だから)
n=p(pは素数)に対しても当然成り立ち、
自然数h,kに対して
p=2^h・3^k-1の形にできる任意の素数pに対して
4/p=1/a+1/b+1/c
となる自然数a,b,cが存在することが、
成り立つ。

「まずはpは解かれていない最小の素数とします。」
でpは解かれていないといいながら
「また、p以下の素数はもう解かれていて2^h・3＾k-1の形になることが解っているとします。」
で(p以下とはpを含むから)pは解かれているといっているの
は矛盾している

p=13
とすると、
13=2^h・3^k-1
14=2^h・3^k
2・7=2^h・3^k
7=2^{h-1}・3^k
となる
自然数h,kは存在しないから

13=2^h・3^k-1
となる自然数h,kは存在しない

n=13
とすると
4/13=1/a+1/b+1/c
4abc=13(bc+ca+ab)
a=13.or.b=13.or.c=13でa,b,cについて対称式だから
c=13として一般性を失わないから
4ab=ab+13(a+b)
3ab=13(a+b)
a=13.or.b=13でa,bについて対称式だから
b=13として一般性を失わないから
3a=a+13
2a=13
となる自然数aは存在しないから

4/13=1/a+1/b+1/c
となる自然数a,b,cは存在しない