大学1年です。重積分の問題が分かりません。

質問

以下の問題が分かりません。

∬[D]xdxdy D:x^2＋y^2=1,x≧0

積分範囲は0≦x≦1、-1≦y≦1なので(与式)=∫dy[-1,1]∫xdx[0,1]=∫1/2dy[-1,1]=1と計算したのですが答えが2/3でどこが間違っているのか分かりません。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

> 積分範囲は0≦x≦1、-1≦y≦1なので(与式)=∫dy[-1,1]∫xdx[0,1]=∫1/2dy[-1,1]=1と計算した

これが間違いです。
D:x^2＋y^2=1,x≧0 は単位円の右半分を表していますが
0≦x≦1、-1≦y≦1
はその領域をすっぽりと覆う長方形です。積分範囲が一致していないので結果が一致しないのは当然です。

解き方は#1の回答を見てください。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

ereserve67

ANo.1です．変数変換しないなら次のようです．

D:x=√(1-y^2)(-1≦y≦1)

ですから，まずyを固定し，xについて0～√(1-y^2)で積分します．その後，yについて-1～1まで積分します．

∫_{-1}^1dy∫_0^{√(1-y^2)}dxx=∫_{-1}^1dy[x^2/2]_0^{√(1-y^2)}=∫_{-1}^1dy(1-y^2)/2=2∫_0^1dy(1-y^2)/2=∫_0^1dy(1-y^2)=[y-y^3/3]_0^1=1-1/3=2/3

回答No.1

ereserve67

変数変換をします．

x=rcost,y=rsint(0≦r≦1,-π/2≦t≦π/2)

ヤコビアンはrだから

dxdy=rdt

よって，

∫_0^1rdr∫_{-π/2}^{π/2}dtrcost=∫_0^1r^2dr∫_{-π/2}^{π/2}dtcost=[r^3/3]_0^1[-sint]_{-π/2}^{π/2}=(1/3)×2=2/3

となります．

お礼

ありがとうございました。