重積分の問題が分かりません

質問

∫[0→1]{∫[√y→1]e^(y/x)dx}dy
という式なのですが、xについての積分しようとしたのですがド忘れしてしまって困っています。
積分するとどうなるんでしょうか？

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

I=∫[0→1]{∫[√y→1] e^(y/x)dx}dy
積分領域Dは
D={(x,y)|0<y<1,√y<x<1}
={(x,y)|0<x<1,0<y<x^2}
であるから
積分の順序を入れ替えて積分を進めると
I=∫[0→1]{∫[0→x^2] e^(y/x)dy}dx
=∫[0→1] {[xe^(y/x)][y:0→x^2]}dx
=∫[0→1] {xe^(x)-x}dx
部分積分を使って
= [xe^(x)-e^(x)-(1/2)x^2][0→1]
=-(1/2)+1=1/2 ...(答)

お礼

とても分かりやすかったです！順序変更が必要だったんですね。