大学の重積分の問題です。

質問

こんにちは。また知恵を貸していただきたく、質問いたします。

∮∮D（|x|+|y|）dxdy　D：|x|+|y|≦1

の積分の値はいくつでしょうか?

絶対値をどのように処理するのかわかりません…。

範囲的には菱形？の左右対称になると思うのですが、どうでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>∮∮D（|x|+|y|）dxdy　D：|x|+|y|≦1
「∮」の記号は閉じた積分路に沿った周回積分（閉路積分）の場合に使います。今回の積分は該当しませんので
普通の積分記号「∫」を使ってください。

V=∫_D（|x|+|y|)dxdy,　D：{(x,y)| |x|+|y|≦1}

>絶対値をどのように処理するのかわかりません…。
>範囲的には菱形？の左右対称になると思うのですが、どうでしょうか。

被積分関数（|x|+|y|)も積分領域もx軸およびy軸に対称なので

積分領域を　D　→ E:{(x,y)| x+y≦1,x≧1,y≧1}
に変換すれば積分領域Eでは絶対値を外せ、
積分領域Dにおける積分は、積分領域Eにおける積分の4倍になります。

V=4∫_E（x+y)dxdy,　E:{(x,y)| x+y≦1,x≧1,y≧1}
=4∫[0→1]dx∫[0→1-x](x+y)dy
=4∫[0→1]dx [xy+y^2/2][0→1-x]
=4∫[0→1] [x(1-x)+(1-x)^2/2] dx
=4[x^2/2 -x^3/3 -(1-x)^3/6][0→1]
=4(1/2 -1/3 +1/6)
=4/3

お礼

∫と∮とは違うのですね！すいません、次から気をつけます。
丁寧な回答、ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

対称性を使って絶対値を外す.