累次積分の問題で質問です。

質問

大学の基礎課程で学ぶ累次積分の問題なのですが、どうも勘違いしているのか答えが合わないので、計算や式に関して、ご教授願います。問題は以下の通りです。

∬ x dxdy (D: x^2+y^2≦1, x≧0)
D

分かりにくくてすみません、Ｄ範囲内でのxの二重積分です。
私は0≦xで半径1の半円をイメージし、

∫[0→1]dx∫[-√(1-x^2)→√(1-x^2)] x dy

で解こうと試みましたが違っていました。正解は2/3とあります

回答No.1

masudaya · ベストアンサー

解く方針は合っています.
∫[0→1] x dx∫[-√(1-x^2)→√(1-x^2)]dy
=2∫[0→1] x √(1-x＾2) dx
=∫[0→1] √(1-u) du (u=x^2)
=2/3[(1-u)^(3/2)][0→1]=2/3

となります.書き間違いとは思いますが

∫[0→1]dx∫[-√(1-x^2)→√(1-x^2)] x dy

xはyで積分できませんので,xはdxの項に入れておくのが一般的です.

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。丁寧な解法をありがとうございます。
理解の方もできました。x^2をuにするところで躓いていました。

回答No.3

ka1234

こんにちは。
理解を深めるために幾何でやってみます。別解です。

＞私は0≦xで半径1の半円をイメージし、

半円というか、円柱を斜め４５度で切断した形です。
（底面の直径を通るように切断する）

すると、高校の求積問題になります。
y＝tで切断すると、断面の面積は、S(t)＝(1-t^2)/2　となります。
これを、-1≦t≦1　で積分すると、
V＝∫S(t)dt [-1≦t≦1]
＝∫(1-t^2)/2dt [-1≦t≦1]
＝2∫(1-t^2)/2dt [0≦t≦1]（偶関数の積分）
＝∫(1-t^2)dt [0≦t≦1]
＝[t-t^3/3][0≦t≦1]
＝1-1/3＝2/3（答え）

このように、二重積分の意味を考えると、簡単に求まる場合もあります。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
なぜこうなるのか、を考えると応用がききますね、参考にさせてもらいます。回等ありがとうございました。

回答No.2

Meowth

∬ x dxdy (D: x^2+y^2≦1, x≧0)
D
x=rcosθ
y=rsinθ
dxdy=rdrdθ
＝∬ rcosθ rdrdθ (D: r≦1, -π/2≦θ≦π/2)
D
＝∫cosθdθ∫ r＾2 dr (D: r≦1, -π/2≦θ≦π/2)
＝2sinθ(0≦θ≦π/2)r^3/3(0≦r≦1)
＝2/3

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
変数変換を使ったものですね。カリキュラムでは私がやっている問題の次のセッションになっていたので何とか別の方法をさがしていました。
でも最終的に最も簡単な方法かもしれませんね。
回等ありがとうございました。