重積分に関する問題です。

質問

D = {(x,y):1<= x^2+y^2 <=4}とする。
このとき ∫∫[D] 1/x^2+y^2 dxdy　の値を求めよ。

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積分範囲を図で表すとドーナツみたいな形になっていると思うのですが、積分計算でつまってしまいました。
どのように計算していけばよいのでしょうか？

回答No.2

noname#252183 · ベストアンサー

#１さんの初めの方の方針に従い、まず ｘ＝ｒ・ｃｏｓθ、ｙ＝ｒ・ｓｉｎθ と変換します。
図の黄色の環は D = {(x,y):1<= x^2+y^2 <=4}）。
その中の微小面積は図より明らかに、ｄｘ・ｄｙから、ｒ・ｄθ・ｄｒ　に変わります。

問題文の ∫∫[D] 1/x^2+y^2 dxdy　はカッコがなくて判りづらい。
元の問題では ∫∫[D] 1/(x^2+y^2) dxdy のことでしょうから、

与式＝∫∫（1/ｒ^2）ｒ・ｄθ・ｄｒ＝∫<0→2π>ｄθ・∫<1→2>（1/ｒ）ｄｒ
＝２π・∫<1→2>（1/ｒ）ｄｒ＝２π・{log２－log１}＝２π・log（2/1)
＝２π・log２
ただし log は自然対数。

お礼

回答ありがとうございます＾＾
とても助かりました。
図まで載せて分かりやすく説明してくれてありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

通常このような場合は変数変換して解きます。
x=r*cosθ,y=r*sinθとして積分範囲をr,θの範囲に変えます。
後はヤコビアンを計算して計算を行うだけ。

もうひとつの方法としては積分範囲をわかりやすい形に変える事。
積分の範囲がドーナツ状であるなら、大きい円の部分で積分した値から小さい円の部分で積分した値を引けばよいでしょう。

つまり、D1={(x,y)|0≦x^2+y^2≦4},D2={(x,y)|0≦x^2+y^2≦1}
として
∫∫[D]{・・・}dxdy=∫∫[D1]{・・・}dxdy-∫∫[D2]{・・・}dxdy

お礼

すいませんヤコビアンで
dxdy = rdrdθ
としたら簡単だったんですね。
助かりました。
ありがとうございました＾＾

補足

回答ありがとうございます＾＾
とても助かります。

大きい円から小さい円を引くのはおもいついたんですが、
その積分計算でとまってしまったんです。。。
すいません。