場合分けの条件を教えてください。

質問

F(t) = ∫0→2 |x(x-t)|dx

という式をtの式であらわしたいのですが、
絶対値があるので場合分けとしては

(i) t≦2
(ii) t＞2

の二つでいいのでしょうか？
xとの大小関係も気にしないといけないような気がするのですが。

ちなみに、tに関しては何の条件もありません。

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

（１）　ｔ≦０　のとき、

・　　　　　　　　　　　・

　・　　　　・　　　　・
――ｔ―――０―――２―

F(t)=∫[0,2]{(x^2)-tx}dx
=[(1/3)(x^3)-(t/2)(x^2)][0,2]
=(8/3)-2t

（２）　０＜ｔ≦２　のとき、

・　　　　　　　　　　　・

　・　　　　・　　　　・
――０―――ｔ―――２―

F(t)=-∫[0,t]{(x^2)-tx}dx+∫[t,2]{(x^2)-tx}dx
=-[(1/3)(x^3)-(t/2)(x^2)][0,t]+[(1/3)(x^3)-(t/2)(x^2)][t,2]
=-{(1/3)(t^3)-(t/2)(t^2)}+{(8/3)-2t}-{(1/3)(t^3)-(t/2)(t^2)}
=(1/6)(t^3)+(8/3)-2t+(1/6)(t^3)
=(1/3)(t^3)-2t+(8/3)

（３）　２＜ｔ　のとき、

・　　　　　　　　　　　　　　・

　・　　　　　　・　　　　　・
―――０――２―ｔ――――

F(t)=-∫[0,2]{(x^2)-tx}dx
=-[(1/3)(x^3)-(t/2)(x^2)][0,2]
=-(8/3)+2t

回答No.1

33550336

絶対値がらみの場合分けを考えるときには絶対値をはずすとどうなるか、を基準に考えます。

上記の問題の場合、ｘが０から２まで変化するとき、x(x-t)の符号がどうなるか、を考えます。

ｔ≦０のとき
x(x-t)は０≦ｘ≦２で常に非負値をとります

０＜ｔ＜２のとき
x(x-t)は０≦ｘ＜ｔで非正値をとり
ｔ≦ｘ≦２で非負値をとります。

ｔ≧２のとき
x(x-t)は０≦ｘ≦２で非正値をとります。

以上をもとにして、それぞれの場合で絶対値をはずしたら計算することができます。