数学の問題について

質問

10問ほど分からない問題があるのですが、途中式なども含めて教えて頂けると幸いです。

(1) y= －2x²+3x-5を平方完成させる
(2) x²-4xy+3y²+4yz-z²の因数分解
(3) x=2³²とする時 √xは何桁の整数か
(4) √a³b×⁶√a⁵b÷³√a⁴b²を簡単にする
(5) 2ᴬ=5ᴮ=10ᶜ の時、bc+ca-abの値
(6) y=log₂(x-2)+log₂(18-x)最大値
(7) y=2sin(x-π/2)+2のグラフ
(8) y=cos²θ+sinθ+1の最大値
　 (※但し、0<θ<2πとする)
(9)方程式 2(4ˣ+4⁻²)-9(2ˣ+2⁻²)+14=0を満たすxの値
　 (※ t=2ˣ+2⁻²を使っても良い)
(10)ある細菌は30分間に1回分裂して2倍の個数に増える。
　 この細菌100個が1億個以上になるには何時間後か。

(7)はグラフなので難しいかと思います。なので、可能な範囲で大丈夫です。
また、小さい文字を使っていますので注意して見て頂けると幸いです。
全て切実に理解したいと思っていますので、途中式や解説があると大変ありがたいです。
何か過普及点がございましたらお申し付けください。
どうか、よろしくお願い致します。

回答No.2

info33

No.1です。

ANo.1のの補足コメントの訂正後の解答

(2)
>x²-4xy+3y²+4yz-4z²の因数分解

x²-4xy+3y²+4yz-4z²=x²-4yx+(3y-2z)(y+2z) ... xについて, 整理,定数項の因数分解
=x²+{(2z-3y)-(y+2z)}x+(3y-2z)(y+2z) ... たすき掛け法
=(x+(2z-3y))(x-(y+2z))
=(x-3y+2z)(x-y-2z) ... (Ans.)

(9)
>2(4ˣ+4⁻ˣ)-9(2ˣ+2⁻ˣ)+14=0
>(※ t=2ˣ+2⁻ˣを使っても良い)

t^2=4ˣ+4⁻ˣ + 2
2(t^2 -2) -9t+14=0
2t^2 -9t +10 =0
(2t-5)(t-2)=0
t=2, 5/2
t=2の時
2ˣ+2⁻ˣ=2, (2ˣ)^2 -2*2ˣ +1=0, (2ˣ -1)^2=0, 2ˣ=1, ∴x=0
t=5/2の時
2ˣ+2⁻ˣ=5/2, 2(2ˣ)^2 -5*2ˣ +2=0, (2ˣ -2)(2*2ˣ -1)=0, 2ˣ=2,1/2, ∴x=1, -1

Ans. x=0, 1, -1

回答No.1

info33

(1) y= －2x²+3x-5を平方完成させる
y= -2(x-3/4)^2 -5+2(3/4)^2= -2(x-3/4)^2 -5+9/8
y= -2(x-3/2)^2 -31/8 ... (Ans.)

(2) x²-4xy+3y²+4yz-z²の因数分解
因数分解不可能の問題.
式の書き間違い?

(3) x=2³²とする時 √xは何桁の整数か
√x=2^16=65536
(Ans.) 5桁の整数

(4) √(a³b)×⁶√(a⁵b)÷³√(a⁴b²) を簡単にする
√(a³b)×⁶√(a⁵b)÷³√(a⁴b²)=a^(3/2+5/6-4/3) * b^(1/2+1/6-2/3)
=a^(1) *b^(0)=a ... (Ans.)

(5) 2ᴬ=5ᴮ=10ᶜ の時、bc+ca-abの値
常用対数をとって c=alog2=blog5
bc+ca-ab=c^2 /log5 +c^2/log2 -c^2/(log2 log5)=c^2 (log2+log5-1)/(log2 log5)
=c^2 (log2+log5-1)/(log2 log5)=c^2 (log10 -1)/(log2 log5)
=0 ... (Ans.)

(6) y=log₂(x-2)+log₂(18-x)最大値
真数条件x-2>0,18-x>0より 2<x<18
y=log₂(x-2)(18-x)=log₂{-(x-2)(x-18)}=log₂{-(x-10+8)(x-10-8)}
=log₂{64-(x-10)^2}≦log₂(64)=6
(Ans.) x=10の時 最大値=6

(7) y=2sin(x-π/2)+2のグラフ
https://www.google.com/search?ei=b9cbW5-xN8Wj0QS5_Z_ACg&q=y%3D2sin%28x-%CF%80%2F2%29%2B2&oq=y%3D2sin%28x-%CF%80%2F2%29%2B2&gs_l=psy-ab.3...2924.3806.0.5884.4.4.0.0.0.0.141.480.0j4.4.0....0...1.1.64.psy-ab..0.0.0....0.-G5cu_-CvGo

(8) y=cos²θ+sinθ+1の最大値
　 (※但し、0<θ<2πとする)
y=1-sin²θ+sinθ+1=9/4 -(sinθ -1/2)^2≦9/4
sinθ=1/2 (0<θ<2π), θ=π/6, 5π/6の時最大値=9/4. ...(Ans.)

(9)方程式 2(4ˣ+4⁻²)-9(2ˣ+2⁻²)+14=0を満たすxの値
　 (※ t=2ˣ+2⁻²を使っても良い)
実数xに対して左辺>0. 実数解xは存在しない.
方程式の書き間違い?

(10)ある細菌は30分間に1回分裂して2倍の個数に増える。
　 この細菌100個が1億個以上になるには何時間後か。
100*2^(2x)≧100000000
2^(2x)≧1000000=10^6
2x log2≧ 6 log10
x≧3 log10/log2=3/0.3010=9.9....
(Ans.) 10時間後

補足

全てにご回答してくださり、誠に有難うございます。
問題の(2)と(9)に関しましては、私の入力ミスです。すみません。
(2)の因数分解の正しい問題は

x²-4xy+3y²+4yz-4z²

でした。

また、 (9)の問題も正しくは

2(4ˣ+4⁻ˣ)-9(2ˣ+2⁻ˣ)+14=0
(※ t=2ˣ+2⁻ˣを使っても良い)

となり、+4と+2の後に－xがついています。

毎度、分かりやすくご説明頂き大変感謝しております。
恐縮ですが、宜しければ上記の場合、どのように解いていくのか教えて頂けると幸いです。