積分の問題

質問

∫_2^3 √(x^2+2x-8)dx
∫_3^4 √{(x^2)-9}dx

の値を求めたいのですがどうすればいいのでしょうか？
やり方に手間取っています。
よろしくお願いします。

回答No.1

sakura_214 · ベストアンサー

最初の問題は，根号内を平方完成すれば
∫√(x^2+2x-8)dx=∫√((x+1)^2-9)dx
となり，t=x+1とおけば，後の問題に帰着することができるので，後の問題だけを考えることにします．また問題は定積分ですが，ここでは不定積分を求めることにします．（あとは上限と下限を入れればいいので）

一般に，f(x^2±a)型の積分は，
u=tan(x) or u=cot(x)
とおくのが定石ですが，f(√(x^2±a))型の積分の場合は，少々天下り的ですが
u=x+√(x^2±a)
とおくのが上手いやり方です．
（最初の置換でもできますが，計算量が非常に多くなります．（経験者談））

u=x+√(x^2-9) ---(1)
とおく．これをxについて整理すると，
x=(1/2)*(u+9/u) ---(2)
x^2-9=(1/4)*(u-9/u)^2 ---(3)
となる．また(1)を微分すると，
du=dx(1+x/√(x^2-9))=dx u/√(x^2-9) ---(4)
となる．よって，
∫√(x^2-9)dx =∫(x^2-9)/u du （∵(4)より）
=(1/4)*∫(u-9/u)^2/u du
=(1/4)*∫(u-18/u+81/u^3)du
=(1/8)*(u^2-81/u^2)-(9/2)*log(u) + const
=(1/8)*(u+9/u)(u-9/u)-(9/2)*log(u) + const
=(1/8)*2x*2(x^2-9)-(9/2)*log(x+√(x^2-9)) + const （∵(2)(3)より）
=(1/2)*x(x^2-9)-(9/2)log(x+√(x^2-9)) + const （∵(1)より）
となります．