積分の問題です.

質問

x dx / sqrt(a^2 + x^2) の値が sqrt(a^2 + x^2) となる過程を知りたいです.

よろしくお願いします.

回答No.2

mnakauye · ベストアンサー

こんばんは、

　　回答１の方が書いておられるのをもう少しシンプルに、

　I=∫(x/√(x^2+a^2))dx

t=√(x^2+a^2) (1)

とおく。

これより

　　dt/dx=(1/2)(x^2+a^2)^(-1/2)2x=x/√(x^2+a^2)

　　　したがって、∫dt=∫x/√(x^2+a^2)dx　（置換積分）

　　　　すなわち、ｔ＋ｃ＝　I

お礼

シンプルな回答ありがとうございます.

とても助かりました.

回答No.1

spring135

I=∫(x/√(x^2+a^2))dx

t=√(x^2+a^2) (1)

とおく。

これより

x=√(t^2-a^2) (2)

さらに(1)をxで微分して

dt/dx=(1/2)(x^2+a^2)^(-1/2)2x=x/√(x^2+a^2)=√(t^2-a^2)/t

dx=(t/√(t^2-a^2))dt (3)

(1)(2)(3)をIに代入して

I=∫[√(t^2-a^2)/t][t/√(t^2-a^2)]dt

=∫dt=t+c=√(x^2+a^2)+c

お礼

おかげさまで理解できました.

丁寧な回答ありがとうございます.