定積分の問題です 教えてください。

質問

∫x^2/(1+x^4)dxでxが0から∞まで変化するときの値を求めたいのですがよくわかりません。
どなたかご教授いただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.4

mickel131 · ベストアンサー

続きです。
２．
x^2/(1+x^4)　を部分分数に分解します。
結論を先に書くと、
｛-x/(x^2+√2*x+1)+x/(x^2+1-√2*x)}*1/(2*√2)
と部分分数に分解できます。
これは、
x^2/(1+x^4)＝（a*x+b)/(x^2+ √2*x+1)＋(c*x+d)(x^2- √2*x+1)
と置いて、右辺を通分し、整理すると、
（(a+c)*X^3+(b+d- √2*(a-c))*X^2+(a+c+ √2* (d-b))*x+(b+d))/(1+x~4)
となることから、
両辺を比較して、
a+c=0,b+d- √2*(a-c)=1,a+c+ √2* (d-b)=0,b+d=0
となり、この連立方程式を解いて、
a=-1/(2*√2) ,c=1/(2*√2) ,b=d=0
が得られます。

３．∫x^2/(1+x^4)dxでxが0から∞まで変化するときの値を、
　　I=∫[0～∞](x^2/(1+x^4)）dx　と書くことにします。

　　J=∫[0～p](x^2/(1+x^4)）dx,
　　K=∫[0～p](-x/(x^2+√2*x+1))dx
L=∫[0～p](x/(x^2-√2*x+1))dx
と置くと、2*√2*J=K+L　で、I=lim[p→∞]J です。

Kでｔ=-xと置くと、x=-t,x:[0～p]のときｔ:[0～-p]
dx=-dt, x^2+√2*x+1=t^2-√2*t+1 となり、
　　K=∫[0～-p](t/(t^2-√2*t+1))(-1)dt
=∫[-p～0](t/(t^2-√2*t+1))dt
=∫[-p～0](x/(x^2-√2*x+1))dx
ですから、
　L+K=∫[-p～0](x/(x^2-√2*x+1))dx+∫[0～p](x/(x^2-√2*x+1))dx
=∫[-p～p](x/(x^2-√2*x+1))dx
とまとめられます。(本当かどうか熟考が必要でしょう。）

４．x-√2/2=sと置くと、x: [-p～p] のとき、s: [-p-√2/2～p-√2/2]で,　
ｓ^2=x~2-√2*x+1/2 より、x^2-√2*x+1=ｓ^2+1/2,
また、x=s+√2/2 , dx=ds ですから、
　L+K=∫[-p-√2/2～p-√2/2]((s+√2/2)/(ｓ^2+1/2))ds
と置換されます。

５．ここでさらに、s=tan(θ)/√2 と置くと、
(不連続な関数tan(θ)に対し、こう置いてよいのか、
　　積分区間のことを含めて、熟考が必要でしょう。
（私はまだ熟考していません。θはシータです。））

s^2+1/2=（tan(θ)^2+1)/2=1/(2*(cos(θ))^2)
　　s+√2/2= (tan(θ)+1)/√2
ds=1/√2*(cos(θ))^2 dθ
s: [-p-√2/2～p-√2/2]のとき、
θ:[arctan(-√2*p-1)～arctan(√2*p-1)]
(（注）
　　s=-p-√2/2のとき、tan(θ)/√2 =-p-1/√2, tan(θ)=-√2*p-1
θ=arctan(-√2*p-1),
なお、この場合、1/(cos(θ))^2=tan(θ)^2+1=2*p^2+2*√2*p+1+1
　　　　　　　　　　　　cos(θ)=1/√(2*p^2+2*√2*p+2)　
同様に、s=p-√2/2のとき,θ=arctan(√2*p-1)　で、
　　　　　　　　　　　　cos(θ)=1/√(2*p^2-2*√2*p+2)　
　　以上から、
　L+K=∫[-p-√2/2～p-√2/2]((s+√2/2)/(ｓ^2+1/2))ds
　=∫[arctan(-√2*p-1)～arctan(√2*p-1)]{((tan(θ)+1)/√2)/
(1/(2*(cos(θ))^2)} *1/√2*(cos(θ))^2 dθ
=∫[arctan(-√2*p-1)～arctan(√2*p-1)]{tan(θ)+1}dθ
　　 =[Log|cos(θ)|+ θ][arctan(-√2*p-1)～arctan(√2*p-1)]
=Log|cos(arctan(√2*p-1))/cos(arctan(√2*p-1))|
+arctan(√2*p-1)-arctan(-√2*p-1)
ここで、第1項の中のcos(arctan(√2*p-1))というのは、５．の注で書いた、
　２つのcos(θ)のうち、下の方で、cos(arctan(√2*p-1)は、上の方です。
　よって、L+Kに出てきた第１項は、
第1項=Log|(1/√(2*p^2-2*√2*p+2))　/(1/√(2*p^2+2*√2*p+2))|
=Log|(√(2*p^2+2*√2*p+2)/√(2*p^2-2*√2*p+2)|
=(1/2)*Log|(2*p^2+2*√2*p+2)/(2*p^2-2*√2*p+2)|　

一方、残りの　arctan(√2*p-1)-arctan(-√2*p-1)については、
　　　　　　　　arctanA　-　arctanB　　=arctan((A-B)/(1+A*B))
を用いると、
　　arctan(√2*p-1)-arctan(-√2*p-1)
　=arctan(2*√2*p/(1+1-2*p^2)）
　=arctan(√2*p/(1-p^2)）
となる。

６．そこで、あとは、Pを∞にして、極限値を考えればいい（？）。
　 ところが、P を∞にしたら、極限値は０になってしまいました。
　　そんなはずがないので（ なぜなら、x^2/(1+x^4)は0以上1/2以下ですから。）、　途中で考え違い、計算間違いをしているはずです。

　　質問者の方、申し訳ないですが、これをご自分の解答と比較して、間違い部分を見つけて直していただけたら、と思います。質問者の方、ご自身の解答を示された方が、他の方も解答を付けやすいと思います。
誰か、他の方、このやり方での解法か、留数を用いたもっと簡単な解法を示してくださればありがたいです。
　長々と書いてすみませんでした。

回答No.3

mickel131

A=x^2+1 , B=√2*x としますと、
（x^2+1)^2-(√2*x)^2 は　
　A^2-B^2　
ですから、
（A＋B)*(A-B)、
つまり、
（x^2+1 +√2*x)*(x^2+1 -√2*x)
と因数分解できます。
一方、
（x^2+1)^2-(√2*x)^2 は　計算すると、
x^4+2*x^2+1-2*x^2 すなわち、x^4+1
になります。
以上から、分母の式は
x^4+1=x^4+2*x^2+1-2*x^2
=(x^2+1)^2-(√2*x)^2
=(x^2+1 +√2*x)*(x^2+1 -√2*x)
と因数分解できます。
そこで、
x^2/(1+x^4)＝x^2/（(x^2+1 +√2*x)*(x^2+1 -√2*x)）
となります。
この数を部分分数というものに分解します。
（今日も）時間切れになりました。
続きはあした、させていただきます。
ここまでのところは自信ありです。

回答No.2

may-may-jp

三角関数を使います。
ｘに三角関数（sinｔ、cosｔ、tanｔ、あるいはその組み合わせ）を代入して、
ｄｘもｄｔの関数に書き換えて、
0→∞も書き換えて、
あとは普通に計算します。

回答No.1

siegmund

複素積分の応用でできます．
実軸上を -R から R まで，および複素上半面の半径 R の半円からなる，
周回積分路をとって f(z) = z^2/(1+z^4) を積分し，R→∞ とすればＯＫです．

(a) 積分路内の極は z = e^(iπ/4)，e^(3iπ/4)．
(b) 留数の計算．
(c) 留数定理で積分値はわかる．
(b) 半円部分からの寄与は R→∞ で消える．
(c) 実軸に沿った積分は求める積分の２倍に他ならない．

という常套手段そのままの順です．
答は π/(2√2) のようですが，検算していませんのでチェックよろしく．

なお，x^2/(1+x^4) は，
分母が (1-√2 x +x^2)(1+√2 x +x^2) と因数分解できますから，
部分分数分解で不定積分を求めることもできます．