行列

質問

さっきのは間違いで、

固有値√(2+(√5))を持つ行列Aですが, x=√(2+(√5))を解いて、x^4-4x^2-1としました。
Aの固有多項式がx^4-4x^2-1を因数にもつのはなぜなのか、教えて下さい。

回答No.2

alice_44

A の成分が、有理数だからなんじゃないの？
問題に、そう書いてなかった？

回答No.1

ereserve67

行列Aの固有値はAの固有多項式f(x)の根です．nをAの次数とすると，固有値xはn次方程式f(x)=0の解とも言います．

xがAの固有値である⇔xはAの固有多項式の根である

さて√(2+√5)がAの固有値であることを知らされて，これを解とする4次方程式を求めたのですね．多分以下のようにして求めたのでしょう．

x=√(2+√5)とおくとx^2=2+√5，x^2-2=√5．両辺を平方して(x^2-2)^2=(√5)^2，x^4-4x^2-1=0

しかし，f(x)が4次式x^4-4x^2-1を因数にもつとは必ずしも言えません．この4次方程式の解はx=±√(2±√5)の4つであり，これらがすべてAの固有値ならばそう言えるでしょう．しかし，固有値と言えるのは√(2+√5)だけですよね．Aに対する条件も見当たりません．だから，確実に言えるのは，

Aの固有多項式はx-√(2+√5)を因数に持つ

ということです．