行列のスペクトル分解について

質問

自分が持っている参考書に、見たことないスペクトル分解が載っていました。

「行列Aについて、固有値をそれぞれα、βとし、それぞれの固有ベクトルをベクトルu、ベクトルvとする。

A^n=α^nP+β＾nQの、行列P,Qを求める。

f(x)=ax^n+bx^(n-1)+・・・＋yx^1+zx^0とし、f（A）＝・・・・＝f（α）P+f(β)Qとなる　　（ここまではわかります）

したがって、g(α)＝１かつg(β)＝０となる多項式g(x)が見つかればP＝g（A）、
　　　　　　　　h(α)=０かつh（β）＝１となる多項式h(x)が見つかればQ＝h（A）

よってP＝A-βI/α-β,Q=A-αI/β-αとなる」

この、「g(α)＝１かつg(β)＝０となる多項式g(x)が見つかればP＝g（A）、
　　　　　　　　h(α)=０かつh（β）＝１となる多項式h(x)が見つかればQ＝h（A）」となる多項式はP＝x-βI/α-β,Q=x-αI/β-αだと理解できるのですが、なぜP、Qを求めるのにf（x）を考え、さらにg（x）、h（x）を考えたのかわわかりません。

どなたかご教授下さい。お願いします

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

「なぜこのxにAを代入したりするんですか？」

なぜ、と問われても…。 「A を代入すると P や Q などを表す式になるから」としか答えようがないですね。

１　まず、ご質問にあった A が 2 行2列行列の場合、

　　A = αP + βQ

です。（ただし、A は対称行列で、P^2 = P、Q^2 = Q、PQ = QP = 0 です。こういう条件があることは、その参考書に書かれているはずです。）

すると、任意の多項式 f(x) の x に A を代入すると、

　　f(A) = f(αP + βQ) = f(α)P + f(β)Q

です。任意の多項式に対して上の等式が成立するのだから、 f の代わりに g や h を置いても同様の等式が成立します。g を使うと

　　g(A) = g(α)P + g(β)Q = 1×P + 0×Q = P

となって P を表す公式が得られます。一方、h を使うと

　　h(A) = h(α)P + h(β)Q = 0×P + 1×Q = Q

となって Q を表す公式が得られます。このように、g(x) や h(x) のx に A を代入するのは、P や Q を表す公式を得るための方便なのです。

２　高校で習っていないということですが、一応、ANo.1 に書いた3 行3列行列の場合を説明すると、次のようになります。

　　A = αP + βQ + γR

です。（ただし、A は対称行列で、P^2 = P、Q^2 = Q、R^2 = R、PQ = QP = PR = RP = QR = RQ = 0 ）

すると、任意の多項式 f(x) の x に A を代入すると、

　　f(A) = f(αP + βQ + γR) = f(α)P + f(β)Q + f(γ)R

です。任意の多項式に対して上の等式が成立するのだから、 f の代わりに p や q や r を置いても同様の等式が成立します。p を使うと

　　p(A) = p(α)P + p(β)Q + p(γ)R= 1×P + 0×Q + 0×R = P

となって P を表す公式が得られます。q を使うと

　　q(A) = q(α)P + q(β)Q + q(γ)R= 0×P + 1×Q + 0×R = Q

となって Q を表す公式が得られます。r を使うと

　　r(A) = r(α)P + r(β)Q + r(γ)R= 0×P + 0×Q + 1×R = R

となって R を表す公式が得られます。

３　（多項式に行列を代入することの意味）

「まずx^n＝(x^2-ax+b)Q(x)+αx+βと考えてからA＾2-ax+b＝OだからA^n=αA+βIとしました」というのもあながち間違いではないですが、本来の意味は、単純に x を A に置き換える、というだけのことです。ですから、

　　x^n の x に A を 代入すれば A^n
　　x +7 の x に A を 代入すれば A +7

というのが正解です。なお、I を単位行列として A + 7 の代わりに A + 7I と書いても構いません。行列の演算の場合、7 と 7I は同じものとみなされます。

回答No.1

ramayana

P、Qを計算する公式を簡単に作れるからじゃないかな。

P と Q が A の 1 次式で表されたことに注意。書かれている手順は、ちょっとした手直しで 3 次行列、 4 次行列等々にも使えます。すると、一般に、 A が k 次実対称行列で相異なる固有値を持つとき、P や Q に相当する行列は A の k-1 次式で表されることが見て取れます。

例えば、 A を相異なる固有値α、β、γを持つ 3 次対称行列とするとき、任意の整数 n に対して

　　A^n = α^nP + β^nQ + γ^nR

と書ける。ここで P =p(A) 、Q = q(A) 、R = r(A) 。ただし、 p 、 q 、 r 、は、次を満たす多項式。

　　p(α) =1 , p(β) = 0 、p(γ) = 0
　　q(α) =0 , q(β) = 1 、q(γ) = 0
　　r(α) =0 , r(β) = 0 、r(γ) = 1

このような多項式は、一般に

　　p(x) = (x-β)(x-γ)(θ(x)(x-α) + 1)/((α-β)(α-γ))
　　q(x) = (x-α)(x-γ)(σ(x)(x-β) + 1)/((β-α)(β-γ))
　　r(x) = (x-α)(x-β)(τ(x)(x-γ) + 1)/((γ-α)(γ-β))

と表される（θ(x) 、σ(x) 、τ(x) は任意の多項式 ）が、θ(x) 、σ(x) 、τ(x) が何であってもp(A) 、q(A) 、r(A) が変わらないので、θ(x) =σ(x) = τ(x) = 0 と置いて

　　p(x) = (x-β)(x-γ)/((α-β)(α-γ))
　　q(x) = (x-α)(x-γ)/((β-α)(β-γ))
　　r(x) = (x-α)(x-β)/((γ-α)(γ-β))

としてよい。

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あと、老婆心ながら、質問は、他人が読んで分かるように書くべきです。いくつか気付いた点を挙げます。

１　A が実数行列か他の係数を持つ行列なのか分からない。　
２　A が対称行列（orエルミート行列）かどうか分からない。
３　A の次数が 2 かどうか分からない。
４　α= βでもよいのかどうか分からない。
５　f(x) の係数に y や z を使うのは、変数と間違いやすく無神経。
６　「P＝x-βI/α-β,Q=x-αI/β-α」は、「g(x)＝(x-β)/(α-β),h(x)=(x-α)/(β-α)」の間違い（と思われる）。
７　I という記号を説明なしで使っている。

補足

すみません・・・自分は高校生なので３次、４次の行列の説明はよく分かりません・・・

例えば上の例で
「A^n = α^nP + β^nQ + γ^nR

と書ける。ここで P =p(A) 、Q = q(A) 、R = r(A) 。ただし、 p 、 q 、 r 、は、次を満たす多項式。

　　p(α) =1 , p(β) = 0 、p(γ) = 0
　　q(α) =0 , q(β) = 1 、q(γ) = 0
　　r(α) =0 , r(β) = 0 、r(γ) = 1

このような多項式はp(x) = (x-β)(x-γ)/((α-β)(α-γ))
　　q(x) = (x-α)(x-γ)/((β-α)(β-γ))
　　r(x) = (x-α)(x-β)/((γ-α)(γ-β))

」

であることは用意に分かるのですが、だからといってなぜこのxにAを代入したりするんですか？多項式に代入できるのは知っているのですが・・・

よく習い始めに、まずx^n＝(x^2-ax+b)Q(x)+αx+β

と考えてからA＾2-ax+b＝O

だからA^n=αA+βIとしましたが、そのような感覚でしょうか？