5次の行列式の解き方（固有多項式）

質問

5次の行列式の解き方を教えてください。4次の解き方は過去の質問を見て理解できたのですが、5次については探してみたところのっていなかったので・・・。
行列Aを
0,0,0,0,1
0,0,0,1,0
0,0,1,0,0
0,1,0,0,0
1,0,0,0,0
とし、この固有多項式を求めると
|xE-A|は
x,0,0,0,-1
0,x,0,-1,0
0,0,x-1,0,0
0,-1,0,x,0
-1,0,0,0,x
となり、これを解くと
(x-1)x^4 - 2(x-1)x^2 + (x-1) = (x-1)^3 * (x+1)^2
となるようなのですが、どうしたらこうなるのかわかりません。
計算過程ものせてもらえると助かります。よろしくおねがいします。

回答No.3

info22

#1です。
>展開方法がよくわからないのでその解説もしてほしいです・・・。
参考URLに高次の行列の展開が書いてありますが、やってみましたか？
自助努力なしでの丸投げの質問はマナー違反ですので、
よく読んで、自力でやって、その計算過程を補足に書いて、その上で、分からない箇所を補足質問して下さい。

それも出来ないなら（削除対象になるので）、おあきらめ下さい。

お礼

よく読んでみたらできました。ありがとうございました。

回答No.2

proto

#1の方の言う通り教科書を見るのが早いでしょう。

具体的には、基本変形を繰り返し0の多い行か列を作ってから余因子展開します。
余因子展開すれば4次の行列式に落とし込むことができます。
同じ手順を繰り返し、3次、2次とどんどん次数を下げていけば良いのです。

回答No.1

info22

xE-Aは
5行×5列の行列
[x,0,0,0,-1]
[0,x,0,-1,0]
[0,0,x-1,0,0]
[0,-1,0,x,0]
[-1,0,0,0,x]
ですから
これを行列式にした方程式
|xE-A|=0
つまり
|x,0,0,0,-1|
|0,x,0,-1,0|
|0,0,x-1,0,0|=0
|0,-1,0,x,0|
|-1,0,0,0,x|
が固有方程式になり、
この左辺の行列式を計算すれば
(x-1)x^4 - 2(x-1)x^2 + (x-1) = (x-1)^3 * (x+1)^2
が出てきます。

単に5行×5列の行列式を展開して計算するだけです。
ゼロ要素が多いので簡単に展開できます。
この展開の仕方は、どんな教科書や参考書にも載っていますので復習してマスターしてください。

参考URL：

http://matha.e-one.uec.ac.jp/~naito/determinant4.pdf

お礼

回答ありがとうございます。
行列式の計算については参考書を見ていますが展開方法がよくわからないのでその解説もしてほしいです・・・。