対角化不能行列の射影分解について
japla.sakura.ne.jp/workshop/workshop/2009/spectol_decomp.pdf
にて質問です。
3×3行列での例が載ってますがn×n行列の場合だと.
(1) 全ての固有値が異なる場合(全て単因子)は1ページからλ_1,λ_2,…,λ_n,Aの固有多項式がΠ_{i=1..n}(λ-λ_i)なら
P_k=(Π_{i=1..n,i≠k}(A-λ_iI))/(Π_{i=1..n,i≠k}(λ_k-λ_iI)), k=1,2,…,n.
A=Σ_{i=1..n}λ_iP_i.
と書けるのですよね? (間違ってましたらご指摘下さい)
そして
(2) 対角可能で重複因子がある場合は10ページからλ_1,λ_2,…,λ_m (m<n), Aの固有多項式がΠ_{i=1..m}(λ-λ_i)^{l_i} (l_1+l_2+…+l_m=n)なら
P_k=(Π_{i=1..m,i≠k}(A-λ_iI))/(Π_{i=1..m,i≠k}(λ_k-λ_iI)), k=1,2,…,m.
と書けるのでしょうか?
更に
(3) 対角化不能の場合は14ページからλ_1,λ_2,…,λ_m (m<n),Aの固有多項式がΠ_{i=1..m}(x-λ_i)^{l_i} (l_1+l_2+…+l_m=n)なら
Φ(λ)=Π_{i=1..m}(x-λ_i)^{l_i}.
1/Φ(λ)=Σ_{i=1..m}g_i(λ)/(λ-λ_i)^{l_i}と部分分数を得て,通分すると,
1=Σ_{i=1..m}Φ(λ)g_i(λ)/(λ-λ_i)^{l_i}で,
P_k=Φ(λ)g_k(λ)/(λ-λ_k)^{l_k}|_{λ=A}, k=1,2,…,m.
これから,Sは
S=Σ_{i=1..m}λ_iP_i
と書けるのですよね? (12ページの(6)は意味がよくわかりませんでした)
この時,
Nは一体どのように書けるのでしょうか?
お礼
ご回答ありがとうございます。 数学が得意な方にとってはそうかもしれませんが、 世の中の人すべてがそうとは限らないと思います。