数学、帰納法の証明問題

質問

数学の帰納法の証明、下記の35,36のご回答をお願いします
なお長くなったら区切ってもらっても構いません
何卒よろしくお願いいたします

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

画像で見える３６（１）（２）だけ回答します。
３６（１）
＞
1^2+3^2+5^2+・・・+(2n-1)^2=(1/3)n(2n-1)(2n+1)
n=1のときは、与式の左辺=(2*1-1)^2=(1)^2=1
与式の右辺=(1/3)*1*(2*1-1)(2*1+1)=(1/3)*1*1*3=1
で成り立つ。
nで与式が成り立つとき、n+1では、
与式の左辺=1^2+3^2+5^2+・・・+(2n-1)^2+{2(n+1)-1}^2
=(1/3)n(2n-1)(2n+1)+(2n+1)^2
=(1/3)(2n+1){n(2n-1)+3(2n+1)}
=(1/3)(2n+1)(2n^2-n+6n+3)
=(1/3)(2n+1)(2n^2+5n+3)
=(1/3)(2n+1)(n+1)(2n+3)
=(1/3)(n+1)(2n+2-1)(2n+2+1)
=(1/3)(n+1){2(n+1)-1}{(2(n+1)+1}
=与式の右辺のnをn+1とした式、
よって、0を除く自然数nで証明された。
３６（２）
＞
(n+1)(n+2)(n+3)・・・・・・・(2n)=2^n*1*3*5・・・・・(2n-1)
n=1のときは、与式の左辺=1+1=2*1=2、与式の右辺=2^1*1=2
で成り立つ。
nで与式が成り立つとき、n+1では、
与式の左辺=(n+2)(n+3)(n+4)・・・{2(n+1)}
=(n+2)(n+3)(n+4)・・・(2n)(2n+1){2(n+1)}
=[{2^n*1*3*5・・・・・(2n-1)}/(n+1)](2n+1){2(n+1)}
=2^(n+1)*1*3*5・・・・・(2n-1)(2n+1)(n+1)/(n+1)
=2^(n+1)*1*3*5・・・・・(2n-1){2(n+1)-1}
=与式の右辺のnをn+1とした式、
よって、0を除く自然数nで証明された。

回答No.2

noname#181872

数学的帰納法とは、ある証明したい式について、
(1)n=1のときに成立することを示す。
(2)n=kのときに成立すると仮定したとき、n=k+1のときにも成立することを示す。
という段取りを踏むことで、
i.　(1)よりn=1のときに成立
ii.　(2)とiよりn=2のときにも成立
iii.　(2)とiiよりn=3のときにも成立
…
ということで証明する方法です。
なので、この段取りに従って計算するだけです。

36の（1）について、
まず、
(1)n=1のときに成立することを示す。
ということで、n=1の場合、左辺、右辺はどうなりますか？
(2)n=kのときに成立すると仮定したとき、n=k+1のときにも成立することを示す。
ということで、求めたいものはn=k+1のときの式である
1^2+3^2+5^2+…+(2k-1)^2+{2(k+1)-1}^2=(k+1){2(k+1)-1}{2(k+1)+1}/3　…(3)
ただ、n=kのときに成立するということを前提として使って良いので、
1^2+3^2+5^2+…+(2k-1)^2=k(2k-1)(2k+1)/3　…(4)
は正しいものとして使ってよいということ。
なので、(4)式をうまくつかって(3)式が成立することを求めればよいうということ。

他も同様。

回答No.1

asuncion

＞35,36

添付画像には、36～38が載っています。
35はありません。