数学的帰納法でこの問題に詰まっています

質問

連続したｋ個の整数の積はｋ！で割り切れることを数学的帰納法で証明せよ。

という問題です。数学的帰納法というからには、ｎやｎ+1を使うのだと思うのですがよくわかりません。どなたか解法と解答をお願いします。

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

整数nで始まる連続k整数の積を
F(n,k)＝n(n+1)(n+2)・・・(n+k-1)
と書くと, kについての数学的帰納法で証明できます.

[I]k=1のとき
任意のF(n,1)は1!＝1で割り切れる．

[II]k=mのとき
任意のnで始まるF(n,m)がm!で割り切れると仮定すると
任意のnに対して　F(n,m)＝M*m!　[M：整数]・・・(＊)
と表せて
F(n+1,m+1)－F(n,m+1)
＝(n+1)(n+2)・・・(n+m-1)(n+m)(n+m+1)－n(n+1)(n+2)・・・(n+m-1)(n+m)
＝(n+1)(n+2)・・・(n+m){(n+m+1)-n}
＝(n+1)(n+2)・・・(n+m)(m+1)
＝F(n+1,m)(m+1)・・・(1)

ここで仮定(＊)により，n+1で始まる連続m整数の積F(n+1,m)は
F(n+1,m)＝M'・m!　[M'：整数]
と書けるので(1)式に代入して
(1)＝M'・m!・(m+1)＝M'(m+1)!
は(m+1)!で割り切れる．
すると，階差F(n+1,m+1)－F(n,m+1)が常に(m+1)!の倍数で，しかも
F(1,m+1)＝(m+1)! は必ず(m+1)!で割り切れるので，全てのnについてF(n,m+1)は(m+1)!で割り切れる．

[I],[II]から数学的帰納法により，
任意のnで始まる連続k整数の積F(n,k)はk!で割り切れる.

お礼

何度も解説をいただきながら回答頂き本当にありがとうございます。頑張ってこれからも数学的帰納法だけでなくいろいろな問題に挑戦していきます。ありがとうございました。

回答No.6

gimmick

#2のgimmickです。ojamanboさんのご指摘のとおり、不完全な回答でした。お詫びいたします。

回答No.5

oshiete_goo

#4の補足（意味説明）です.
＞連続したｋ個の整数の積はｋ！で割り切れることを数学的帰納法で証明せよ。
文字通り, 最初の整数が正,0,負によらず, この命題は正しく, また#4の議論はその完全な証明(のつもり)です.

#4で定義したF(n,k)について,
1）n≧1のときは通常の意味で成立.
2）-k＜n≦0 のときは積の因子の中に0が含まれ, F(n,k)＝0であるが, これは必ずk!で割り切れる.
3) n≦-kのときは絶対値|F(n,k)|はk!で割り切れ, kの奇偶によりこのときのF(n,k)の符号は決まるが, いずれにしてもF(n,k)はk!で割り切れる.

以上, nの符号によらず, #4の証明は全ての場合にそのまま適用できる.
(n≦0のときは, F(1,m+1)＝(m+1)! から出発して 階差F(n+1,m+1)－F(n,m+1)(＝(m+1)!の倍数) を下に向かって使うことで示せる.
F(1,m+1)→F(0,m+1)→F(-1,m+1)→・・・)

回答No.3

noname#24477

基本は＃２でお答えの通りだとは思います。
ｎ＋１が素数ならそれで終わりですが合成数になるとちょっと？です。

２と４で割り切れても８で割り切れることの証明になりませんから
４！で割り切れるとはいえません。

それではどうすればいいか。簡単な証明を思いつかないので
考え中です。

回答No.2

gimmick

#1さんのおっしゃるように連続したｋ個の「正の」整数の積として回答します。

ここでのポイントは、「連続したｋ個の正の整数には必ずｋの倍数が含まれる」ということです。このため、「連続したｋ個の正の整数の積は必ずｋで割り切れる」ということになります。そして、十分大きいｋに対しては、連続したｋ個の正の整数の中に、連続したｋ-1個の正の整数が含まれます。そのため、その積はｋ-1でも割り切れます。同様にｋ-2、ｋ-3...でも割り切れます。結局、「連続したｋ個の正の整数の積はｋ！で割り切れる」となるわけです。

これを厳密に証明するためには数学的帰納法を使います。
(1)k=1の時に命題が成り立つ
(2)k=nの時に命題が成立するとk=n+1の場合にも成り立つ
を証明してください。

お礼

ありがとうございます。今の所なんとなくわかってきたかな。というところです。もうちょっと吟味してみます。

回答No.1

kony0

いきなり卑怯かもしれませんが。。。連続したｋ個の「正の」整数の積ですよね？
そうすると、ｋ個のうちの最大の整数をｎとするとｎ≧ｋが成立し、
求める積は nPk = nCk * k! となります。
ここで、nCk, k!はともに整数なので、nPkはk!で割り切れる・・・

数学的帰納法…全く使ってないのでだめですよね？

お礼

アドバイスありがとうございます。確かにこの方法で証明できますね。ただやっぱり数学的帰納法でとなると・・・。でも数学の問題の解き方はひとつだけじゃないということですね。